Dæmi um umræðuspurningu um líkur á skilyrt óháðum samsettum atburðum
Pendahuluan
Líkindafræði er grein stærðfræðinnar sem rannsakar líkur á að atburður eigi sér stað. Eitt af grundvallarhugtökunum í líkindafræði eru samsettir atburðir, sem hægt er að flokka sem annað hvort óháða eða skilyrta atburði. Þessi grein mun skoða þessi hugtök ítarlega með dæmum og umræðum.
Samsettir atburðir
Samsett atburður er samsetning tveggja eða fleiri atburða sem eiga sér stað í úrtaksrými. Það eru tvær gerðir af samsettum atburðum: atburðir sem útiloka hvor annan og atburðir sem eru skilyrtir.
1. Óháðir atburðir: Tveir atburðir eru sagðir óháðir ef árangur eða mistök annars atburðarins hafa ekki áhrif á útkomu hins. Til dæmis útkoma peningakasts og teningakasts.
2. Skilyrt atvik: Skilyrt atvik eiga sér stað þegar velgengni eða mistök eins atviks hafa áhrif á líkur á að annað atvik eigi sér stað. Til dæmis líkurnar á að einhver fái sjúkdóm ef viðkomandi hefur erfðafræðilega tilhneigingu til þess sjúkdóms.
Líkur á óháðum atburðum
Formúlan til að reikna út líkindi tveggja óháðra atburða A og B er:
[P(A ≈ B) = P(A) sinnum P(B)]
Hvar:
– \(P(A \cap B)\) er líkurnar á að atburðirnir A og B eigi sér stað samtímis.
– \(P(A)\) er líkurnar á að atburður A eigi sér stað.
– \(P(B)\) er líkurnar á að atburður B eigi sér stað.
Dæmi um spurningar og umræður: Gagnkvæmt óháðir atburðir
Spurning 1: Peningi er kastað og sexhliða teningi er kastað. Ákvarðið líkurnar á að fá höfuð á peninginn og 4 á teningnum.
Umræða:
– Líkur á að mynd birtist á mynt: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Líkur á að fá töluna 4 á teningnum: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Þar sem myntin og teningurinn eru tveir óháðir atburðir, eru líkurnar á að báðir gerist samtímis:
[P(G ≤ 4) = P(G) × P(4) = 1/2 × 1/6 = 1/12]
Þannig að líkurnar á að fá mynd á peninginn og 4 á teninginn eru \( \frac{1}{12} \).
Skilyrt líkindi atburða
Skilyrt líkindi tveggja atburða A og B eru líkindin á að A eigi sér stað að því gefnu að B hafi átt sér stað. Formúlan til að reikna út skilyrt líkindi er sýnd sem hér segir:
[P(A|B) = \frac{P(A|B)}{P(B)}]
Hvar:
– \( P(A | B) \) er líkurnar á að atburður A eigi sér stað að því gefnu að atburður B hafi þegar átt sér stað.
– \( P(A \cap B) \) er líkurnar á að atburðirnir A og B eigi sér stað samtímis.
– \(P(B) \) er líkurnar á að atburður B eigi sér stað.
Dæmi um spurningar og umræður: Skilyrt atburðir
Spurning 2: Tvær kúlur eru dregnar af handahófi úr kassa sem inniheldur 3 rauðar kúlur og 2 bláar kúlur, eina af annarri án þess að þær leggist aftur á bak. Finnið líkurnar á því að önnur kúlan sem dregin er sé rauð, að því gefnu að sú fyrsta sé líka rauð.
Umræða:
Til dæmis:
– A er sá atburður að fyrsta kúlan er rauð.
– B er sá atburður að önnur kúlan er rauð.
Við erum að leita að \( P(B|A) \). Fyrst reiknum við \(P(A) \) og \(P(A \capB) \):
Heildarfjöldi kúlna = 5 (3 rauðar og 2 bláar).
Fyrsta færi á rauðum bolta:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Eftir að fyrsta rauða kúlan er dregin eru eftir tvær rauðar kúlur og heildarfjöldi kúlna verður fjórar.
Líkur á að önnur kúlan verði rauð eftir að sú fyrsta er dregin:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Þannig að líkurnar á að önnur kúlan sé rauð ef sú fyrsta er líka rauð eru \( \frac{1}{2} \).
Dæmi um samsetningarspurningar
Til að dýpka skilning okkar getum við sameinað óháða og skilyrta samsetta atburði í einni spurningu.
Spurning 3: Poki inniheldur 5 rauðar kúlur og 3 bláar kúlur. Tvær kúlur eru dregnar af handahófi án þess að leggja þær aftur á sinn stað. Finnið líkurnar á að fyrri kúlan sé rauð og sú seinni sé blá.
Umræða:
Við notum sömu táknmál og áður:
– A er sá atburður að fyrsta kúlan er rauð.
– B er sá atburður að önnur kúlan er blá.
Fyrst reiknum við líkurnar á hverjum atburði í röð.
Líkur á að fyrsta kúlan verði rauð:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Ef fyrsta kúlan er rauð, þá eru eftirstandandi rauðar kúlur = 4 og heildarfjöldi eftirstandandi kúlna = 7.
Líkur á að önnur kúlan verði blá eftir að sú fyrsta verði rauð:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Þannig að líkurnar á að fyrsta kúlan sé rauð og sú seinni blá er margfeldi þessara tveggja skilyrtra líkinda:
\[
P(A ≈ B) = P(A) × P(B|A) = 5/8 × 3/7 = 15/56
\]
Þannig að líkurnar á að fyrsta kúlan sé rauð og sú seinni blá eru \( \frac{15}{56} \).
Niðurstaða
Í líkindafræði er skilningur á muninum á óháðum og skilyrtum atburðum lykilatriði til að leysa vandamál sem fela í sér samsetta atburði. Með dæmum lærum við hvernig á að reikna út líkur á ýmsum atburðarásum sem fela í sér þessi tvö hugtök. Góður skilningur á þessum hugtökum getur hjálpað til við ákvarðanatöku í raunverulegum aðstæðum eins og áhættustjórnun, tölvuleikjum og vísindarannsóknum.
Notkun stærðfræðinnar í daglegu lífi sýnir fram á hversu mikilvægur þessi skilningur er fyrir ýmsa þætti mannlífsins, allt frá þeim einföldustu til þeirra flóknustu. Með því að æfa sig stöðugt og ná tökum á þessum grunnhugtökum mun færni okkar í líkindagreiningu skerpast.
