Dæmispurningar og umræða um fallsamsetningu
Fallsamsetning er hugtak í stærðfræði þar sem tvö föll eru sameinuð í eitt. Ef \(f \) og \(g \) eru tvö föll, þá er samsetning \(f \) og \(g \) nýtt fall skilgreint sem \((f \circ g)(x) \) sem þýðir \(f(g(x)) \). Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál og hvernig á að leysa þau sem tengjast fallsamsetningu.
1. Grunnskilningur á virknisamsetningu
Áður en við förum í dæmisspurningarnar skulum við skilja stuttlega hvað fallsamsetning er.
Segjum sem svo að það séu tvö föll \(f \) og \(g \):
– Fall \(f \) : \(x \mapsto f(x) \)
– Fall \(g \) : \(x \mapto g(x) \)
Samsetning f og g, rituð sem f um g, er fall sem uppfyllir:
[(f um g)(x) = f(g(x))]
Hér er \(g(x) \) inntakið í fallið \(f \).
2. Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Gefin eru fallin \(f(x) = 2x + 3 \) og fallin \(g(x) = x – 5 \). Ákvarðið \((f \circ g)(x) \) og \(g \circ f)(x) \).
Umræða:
Reiknum fyrstu samsetninguna \( (f \circ g)(x) \):
[(f um g)(x) = f(g(x))]
Í fyrsta skrefinu setjum við \(g(x) \) inn í \(f(x) \):
\[ g(x) = x – 5 \]
\[ f(g(x)) = f(x – 5) \]
Í öðru skrefi sláum við inn \(x – 5 \) í fallið \(f \):
\[ f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Þannig að (f₀₀g)(x) = 2x – 7).
Nú skulum við reikna út aðra samsetninguna \( (g \circ f)(x) \):
[(g umkring f)(x) = g(f(x))]
Fyrsta skrefið er að setja f(x) inn í g(x):
\[ f(x) = 2x + 3 \]
\[ g(f(x)) = g(2x + 3) \]
Í öðru skrefi setjum við \(2x + 3 \) inn í fallið \(g \):
\[ g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Þannig að (g umkring f)(x) = 2x – 2).
3. Dæmispurning 2: Samsetning falla með annars stigs föllum
Spurning:
Gefin eru fallin \(f(x) = x^2 + 1 \) og fallin \(g(x) = 3x – 4 \). Ákvarðið \((f \circ g)(x) \) og \((g \circ f)(x) \).
Umræða:
Reiknum fyrstu samsetninguna \( (f \circ g)(x) \):
[(f um g)(x) = f(g(x))]
Í fyrsta skrefinu setjum við \(g(x) \) inn í \(f(x) \):
\[ g(x) = 3x – 4 \]
\[ f(g(x)) = f(3x – 4) \]
Í öðru skrefi sláum við inn \(3x – 4 \) í fallið \(f \):
\[ f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1 \]
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x ⋅ 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Svo, \( (f \circ g)(x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Nú skulum við reikna út aðra samsetninguna \( (g \circ f)(x) \):
[(g umkring f)(x) = g(f(x))]
Fyrsta skrefið er að setja f(x) inn í g(x):
\[ f(x) = x^2 + 1 \]
\[ g(f(x)) = g(x^2 + 1) \]
Í öðru skrefi sláum við inn \(x^2 + 1 \) í fallið \(g \):
[g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Þannig að (g umkring f)(x) = 3x² – 1).
4. Dæmispurning 3: Samsetning þríhyrningsfalla
Spurning:
Gefin eru fallin \(f(x) = \sin x \) og fallin \(g(x) = x^2 \). Ákvarðið \((f \circ g)(x) \) og \(g \circ f)(x) \).
Umræða:
Reiknum fyrstu samsetninguna \( (f \circ g)(x) \):
[(f um g)(x) = f(g(x))]
Í fyrsta skrefinu setjum við \(g(x) \) inn í \(f(x) \):
[g(x) = x^2]
[f(g(x)) = f(x^2)]
Í öðru skrefi sláum við inn \(x^2 \) í fallið \(f \):
\[ f(x^2) = \sin(x^2) \]
Þannig að (f⁻¹ og g)(x) = sin (x²)).
Nú skulum við reikna út aðra samsetninguna \( (g \circ f)(x) \):
[(g umkring f)(x) = g(f(x))]
Fyrsta skrefið er að setja f(x) inn í g(x):
\[ f(x) = \sin x \]
[g(f(x)) = g(sin x)]
Í öðru skrefi setjum við \( \sin x \) inn í fallið \(g \):
[g(sin x) = (sin x)^2]
\[ = \sin^2 x \]
Þannig að (g umkring f)(x) = sin² x).
Niðurstaða
Fallsamsetning er leið til að sameina tvö föll í eitt fall. Með dæmunum hér að ofan lærðum við að ferlið við fallsamsetningu felur í sér að skipta einu falli út fyrir annað. Lokaniðurstaða fallsamsetningar fer mjög eftir því í hvaða röð föllunum er beitt fyrst.
Mikilvægt er að skilja að \((f \circ g)(x) \) er ekki alltaf það sama og \((g \circ f)(x) \) og þessi munur getur verið mjög þýðingarmikill í ýmsum notkunarsviðum stærðfræði og vísinda. Þess vegna er mjög mikilvægt fyrir alla sem stunda stærðfræðinám á millistigi eða lengra komnu stigi að skilja grunnatriðin og hvernig á að reikna út samsetningu falla.
Vonandi eru umræðan og dæmisspurningarnar hér að ofan gagnlegar og hjálpa lesendum að skilja samsetningu föllanna.
