Dæmispurningar og umræða um vektorþætti
Vigur eru grundvallarhugtak í eðlisfræði og stærðfræði og eru oft notuð til að lýsa stærðum með bæði stærð og stefnu. Ítarlegur skilningur á vigurum er nauðsynlegur til að leysa ýmis vandamál í vísindum og verkfræði. Í þessari grein verður fjallað um nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér vigurþætti, ásamt skýringum á þeim.
Inngangur að vektorum
Vigur er stærð sem hefur tvo megineiginleika: stærð og stefnu. Til dæmis er hraði vigurstærð því hún hefur bæði stærð (hversu hratt hún fer) og stefnu (hvert hún fer). Til að tákna vigra notum við oft örvar, þar sem lengd örvarinnar táknar stærð hennar og stefna örvarinnar gefur til kynna stefnu hennar.
Vigur í tvívíðu rúmi er oft táknaður sem 𝐀 = 𝑎ᵢ + 𝑏ⱼ, þar sem 𝑎 og 𝑏 eru hlutar vigursins meðfram x- og y-ásunum, og 𝐢 og 𝐣 eru einingarvigrarnir meðfram x- og y-ásunum.
Dæmispurning 1: Að ákvarða vigurþætti út frá grafískri framsetningu
Spurning: Vigur 𝐀 hefur upphafspunkt í uppruna (0,0) og endapunkt í hnitunum (4,3). Ákvarðið hluta vigursins 𝐀.
Umræða: Vigurinn sem byrjar frá upphafspunkti (0,0) að endapunkti (4,3) má rita á þáttaformi sem 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣. Þátturinn meðfram x-ásnum er 4 og meðfram y-ásnum er 3.
Dæmispurning 2: Að ákvarða stærðargráðu vigurs
Dæmi: Reiknið út stærð vigursins 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣.
Umræða: Stærð (eða stærð) vigurs 𝐀 er hægt að reikna út með pýþagórasarformúlunni, þ.e.:
\[ |𝐀| = \sqrt{𝑎² + 𝑏²} \]
Fyrir vektorinn 𝐀 = 4𝐢 + 3𝐣, þá:
\[ |𝐀| = \sqrt{4² + 3²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
Þannig að stærð vigursins 𝐀 er 5 einingar.
Dæmi 3: Að leggja saman tvo vigra
Spurning: Gefin eru tveir vigrar 𝐁 = 2𝐢 + 3𝐣 og 𝐂 = -𝐢 + 4𝐣. Ákvarðið summu vigranna 𝐁 og 𝐂.
Umræða: Til að leggja saman tvo vigra leggjum við einfaldlega saman þættina í sömu átt hvers vigurs:
\[ 𝐁 + 𝐂 = (2𝐢 + 3𝐣) + (-𝐢 + 4𝐣) \]
\[ = (2 + (-1))𝐢 + (3 + 4)𝐣 \]
\[ = 1𝐢 + 7𝐣 \]
Þannig að niðurstaðan af því að leggja saman vigurana 𝐁 og 𝐂 er 𝐃 = 𝐢 + 7𝐣.
Dæmispurning 4: Að reikna út hornið milli tveggja vigra
Dæmi: Gefin eru tveir vigrar 𝐀 = 3𝐢 + 4𝐣 og 𝐁 = 4𝐢 – 3𝐣. Reiknið hornið á milli vigranna tveggja.
Umræða: Hægt er að reikna út hornið milli tveggja vigra með kósínusformúlunni:
\[ \cos(𝜃) = \frac{𝐀 · 𝐁}{|𝐀| |𝐁|} \]
1. Reiknaðu punktmargfeldið (𝐀 · 𝐁):
\[ 𝐀 · 𝐁 = (3𝐢 + 4𝐣) · (4𝐢 – 3𝐣) \]
\[ = (3 4) + (4 -3) \]
\[ = 12 – 12 \]
\[ = 0 \]
2. Reiknið út stærð vigranna 𝐀 og 𝐁:
\[ |𝐀| = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
\[ |𝐁| = \sqrt{4² + (-3)²} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
3. Setjið inn í kósínusformúluna:
\[ \cos(𝜃) = \frac{0}{5 5} = 0 \]
Þar sem \(\cos(𝜃) = 0\), þá er \(𝜃 = 90°\). Þannig er hornið milli vigranna tveggja 90 gráður.
Dæmispurning 5: Að reikna út víxlmargfeldi vigra
Dæmi: Gefin eru tveir vigrar í þremur víddum, 𝐀 = 𝐢 + 2𝐣 + 3𝐤 og 𝐁 = 4𝐢 + 5𝐣 + 6𝐤, reiknið út víxlmargfeldisvigurinn 𝐀 × 𝐁.
Umræða: Víxlmargfeldi tveggja vigra í þremur víddum (𝐀 × 𝐁) er:
\[ 𝐀 × 𝐁 = \begin{vmatrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \]
\[ = 𝐢 (2 6 – 3 5) – 𝐣 (1 6 – 3 4) + 𝐤 (1 5 – 2 4) \]
\[ = 𝐢 (12 – 15) – 𝐣 (6 – 12) + 𝐤 (5 – 8) \]
\[ = 𝐢 (-3) – 𝐣 (-6) + 𝐤 (-3) \]
\[ = -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤 \]
Þannig að niðurstaðan af víxlmargfeldinu 𝐀 × 𝐁 er -3𝐢 + 6𝐣 – 3𝐤.
Niðurstaða
Í eðlisfræði og stærðfræði eru vigur mjög gagnleg leið til að tákna stærðir sem hafa bæði stefnu og stærð. Með því að skilja hvernig á að ákvarða vigurþætti, reikna stærðir, leggja saman vigra og reikna horn milli vigra og víxlverkunar getum við leyst ýmis vandamál sem fela í sér vigra. Umræðan um dæmin hér að ofan miðar að því að hjálpa okkur að dýpka skilning okkar á þessu hugtaki. Að lokum er hæfni til að skilja og vinna með vigra mjög gagnleg færni á ýmsum sviðum vísinda og verkfræði.
