Dæmi um umræðuspurningu um ákvörðunarstuðulinn
Ákvörðunarstuðullinn (R²) er mikilvægur þáttur í aðhvarfsgreiningu og gefur til kynna hversu vel aðhvarfslíkan útskýrir raunverulegan breytileika gagnanna. Í þessari grein munum við útskýra hugtakið ákvörðunarstuðull með ítarlegu dæmi og umræðu.
Grunnhugtakið ákvörðunarstuðull
Ákvörðunarstuðullinn eða \(R^2 \) er mældur á kvarða frá 0 til 1, þar sem:
– \( R^2 = 0 \) gefur til kynna að aðhvarfslíkanið geti alls ekki útskýrt breytileika gagnanna.
– \( R^2 = 1 \) sýnir að aðhvarfslíkanið getur útskýrt allan breytileika gagnanna fullkomlega.
Grunnformúlan til að reikna út ákvörðunarstuðulinn er:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Hvar:
– SSR (summa af kvaðratleifum) er summa ferninganna af mismuninum á milli gildanna sem líkanið spáir fyrir um og raunverulegra gilda.
– SST (heildarsumma ferninga) er heildarsumma ferninganna af mismuninum á milli raungildis og meðaltals raungildanna.
Dæmi um vandamál
Við skulum ræða dæmi um vandamál til að skilja útreikning á ákvörðunarstuðlinum nánar.
Dæmi um vandamál:
Segjum sem svo að við höfum gögn um fjölda námsstunda (X) og prófskora (Y) hjá 10 nemendum:
| Nemendur | Námstímar (X) | Prófeinkunn (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Við munum búa til einfalda línulega aðhvarfsgreiningu þar sem prófniðurstöður (Y) eru spáðar út frá námsstundum (X).
Umræða
1. Að byggja upp einfalda línulega aðhvarfsgreiningu
Einfalt línulegt aðhvarfslíkan hefur formið:
[Y = a + bX]
Hvar:
– \(Y \) er spáð prófskor.
– \(X \) er fjöldi námsstunda.
– \(a \) er skurðpunkturinn (skurðpunkturinn á Y-ásnum þegar X = 0).
– \(b \) er hallatölan (halli aðhvarfslínunnar).
Til að reikna út breyturnar \(a \) og \(b \) notum við eftirfarandi formúlu:
[b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2}]
[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Þar sem \(n \) er fjöldi gagna (í þessu tilfelli n = 10).
Út frá töflunni getum við reiknað út:
– \(\summa{X} = 36\)
– \(\summa{Y} = 704\)
– \(\summa{X^2} = 140\)
– \(\summa{Y^2} = 50428\)
– \(\summa{XY} = 2576\)
Reiknum fyrst út b:
[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Síðan reiknum við út:
[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Þannig að línulega aðhvarfslíkanið sem við fáum er:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Reiknaðu spágildið (Y')
Næst reiknum við út spáð gildi \(Y' \) fyrir hvert \(X \):
| Nemendur | Námstímar (X) | Prófeinkunn (Y) | Áætluð einkunn (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Útreikningur á SSR og SST
Næst reiknum við SSR og SST til að fá \( R^2 \).
SSR:
[SSR = \summa{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Hvar:
[\bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Útreikningur á ákvörðunarstuðlinum \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Niðurstaða
Út frá útreikningnum hér að ofan fengum við ákvörðunarstuðul (R2 = 0.59). Þetta bendir til þess að línulega aðhvarfsgreiningin sem við bjuggum til geti útskýrt um það bil 59% af breytileikanum í prófskorum miðað við námstíma. Eftirstandandi 41% af breytileikanum gætu stafað af öðrum þáttum sem ekki eru teknir með í líkaninu.
Með því að skilja skrefin og útreikningana hér að ofan getum við séð mikilvægi ákvörðunarstuðulsins við að meta hversu vel aðhvarfslíkanið sem við smíðum útskýrir raunverulegan breytileika gagnanna. Það er mjög gagnlegt tól í tölfræðilegri greiningu og gagnalíkönum.
