Dæmi um spurningar sem fjalla um notkun þríhyrningshlutfalla tan θ
Hornafræði er grein stærðfræðinnar sem fjallar um horn og hornföll í þríhyrningum. Eitt mikilvægt hugtak í hornafræði eru hlutföll horna, svo sem sínus (sin), kósínus (cos) og snertill (tan). Í þessari grein munum við einbeita okkur að snertil eins horns θ, sem er táknað með tan θ.
Skilgreining á Tan θ
Snertilínan við hornið θ í rétthyrndum þríhyrningi er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar við hornið θ og lengdar aðliggjandi hliðar við hornið θ. Stærðfræðilega er tangens θ táknað sem:
\[ \tan \theta = \frac{\text{gagnstæð hlið hornsins θ}}{\text{aðliggjandi hlið hornsins θ}} \]
Til að skilja þetta hugtak betur munum við fara í gegnum nokkur dæmi og ræða notkun tan θ.
Dæmi Spurning 1: Reikna Tan θ
Gefið rétthyrndan þríhyrning með hornið θ í punktinum A, þar sem móthlið hornsins θ er 3 cm löng og aðliggjandi hlið hornsins θ er 4 cm löng. Reiknið tan θ.
Lausn:
Af ofangreindum vandamálum vitum við:
– Gagnstæð hlið hornsins θ (gagnstæð) = 3 cm
– Aðliggjandi hlið hornsins θ = 4 cm
Með því að nota skilgreininguna á tan θ reiknum við út:
\[ \tan \theta = \frac{\text{gagnstætt}}{\text{aðliggjandi}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
Þannig að tan θ = 0.75.
Rúmfræðilega þýðir þetta að fyrir hornið θ í þríhyrningnum er hlutfallið milli lengdar gagnstæðrar hliðar og lengdar aðliggjandi hliðar 0.75.
Dæmi 2: Að nota Tan θ til að reikna út hliðarlengd
Stigi hallar sér upp að vegg með hæðarhorni θ upp á 30 gráður. Fjarlægðin frá fæti stigans að veggnum er 5 metrar. Hversu langur er stiginn sem hallar sér upp að veggnum?
Lausn:
Í fyrsta skrefinu rifjum við upp skilgreininguna á tan θ:
\[ \tan \theta = \frac{\text{gagnstætt}}{\text{aðliggjandi}} \]
Í samhengi við þetta vandamál:
– θ = 30 gráður
– aðliggjandi (fjarlægð frá neðri hluta stigans að veggnum) = 5 metrar
– gagnstætt (hæð stiga að vegg) = ???
Við reiknum fyrst \text{opposite)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{gagnstætt}}{5} \]
Við vitum úr þríhyrningstöflunni að:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Svo:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{gagnstætt}}{5} \]
Margfaldaðu báðar hliðar með 5:
\[ \text{gagnstætt} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Á móti (hæð stiga að vegg) er:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \u.þ.b. 2.89 \text{ metrar} \]
Þannig að lengd stigans er 5 metrar.
Dæmi 3: Útreikningur á hornum með Tan θ
Turn varpar skugga sem er 12 metra langur. Ef turninn er 8 metra hár, hver er þá hæðarhorn sólarinnar θ?
Lausn:
Í þessu dæmi er okkur gefið:
– Hæð turnsins (á móti) = 8 metrar
– Lengd skugga (aðliggjandi) = 12 metrar
Við notum skilgreininguna á tan θ til að finna θ:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Nú finnum við θ með jöfnunni:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
Ef við skoðum töflu eða reiknivél til að ákvarða gildi andhverfu snertilsins, finnum við:
\[ \theta \u.þ.b. 33.69^\circ \]
Þannig að hæðarhorn sólarinnar er um 33.69 gráður.
Dæmi 4: Að beita Tan θ á raunverulegar þarfir
Ljósendurskinsmerki sem fest er á 4 metra staur fyrir ofan bíl er sett upp. Ef þú vilt setja upp sírenu sem sést í 45 gráðu horni frá jörðu skaltu reikna út mestu fjarlægðina sem sírenuna sést enn í.
Lausn:
Af spurningunni er vitað:
– Stönghæð (á móti) = 4 metrar
– Horn θ = 45 gráður
Samkvæmt skilgreiningunni á tan θ:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{gagnstætt}}{\text{aðliggjandi}} \]
Við vitum að \(\tan 45^\circ = 1\), þannig að:
\[ 1 = \frac{4}{\text{aðliggjandi}} \]
Svo:
\[ \text{aðliggjandi} = 4 \text{ metrar} \]
Þannig að lengsta fjarlægðin sem sírenan sést í er 4 metrar.
Niðurstaða
Af dæmunum hér að ofan sjáum við að snertill hornsins θ (\(\tan \theta\)) er mjög gagnlegt hugtak og hefur fjölbreytt hagnýt notkunarsvið, allt frá lausnum á einföldum stærðfræðilegum vandamálum til notkunar í daglegum þörfum, svo sem í byggingarlist og siglingum. Góður skilningur á þessu hugtaki getur hjálpað til við að leysa ýmis vandamál sem fela í sér samanburð á lengdum hliða í þríhyrningi.
Í heildina er tan θ, sem hluti af hornafræði, ekki aðeins mikilvægt námsgrein í formlegu námi heldur einnig mjög gagnlegt verkfæri í ýmsum þáttum raunveruleikans. Vonandi veitir þessi grein skýra og ítarlega yfirsýn yfir hvernig nota má tan θ til að leysa skyld vandamál.
