Dæmi um spurningar um lögmál Coulombs
Lögmál Coulombs er grundvallarregla í eðlisfræði sem útskýrir kraftinn milli tveggja rafhleðinga. Þetta lögmál, sem er rannsakað innan undirsviðs rafstöðueiginleika, útskýrir hvernig rafhleðslur dragast að eða hrinda hvor annarri frá sér. Þetta lögmál var fyrst lagt til af franska eðlisfræðingnum Charles-Augustin de Coulomb á 18. öld. Í þessari grein verður fjallað um lögmál Coulombs með því að skoða dæmi og lausnir þeirra, og þannig hjálpað lesendum að skilja hagnýta notkun þessarar grundvallarreglu.
Fræðilegur grunnur: Hvað er lögmál Coulombs?
Lögmál Coulombs segir að stærð rafstöðukraftsins \(F \) milli tveggja punkthleðslna \(q_1 \) og \(q_2 \) sé í beinu hlutfalli við margfeldi stærða hleðslnanna tveggja og í öfugu hlutfalli við ferning fjarlægðarinnar \(r \) á milli þeirra. Stærðfræðilega má tákna formúluna fyrir lögmál Coulombs sem:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Hvar:
– \(F \) er stærð rafstöðukraftsins
– \(k_e \) er Coulomb-stuðullinn (\(8.9875 \times 10^9 \, N ≤ m^2 \cdot C^{-2} \))
– \(q_1 \) og \(q_2 \) eru stærðir rafhleðslunnar
– \(r \) er fjarlægðin milli hleðslnanna tveggja
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Það eru tvær punkthleðslur: \( q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \) og \( q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \). Þær eru 0,05 metra frá hvor annarri. Reiknið út stærð rafstöðukraftsins sem verkar á milli hleðnanna tveggja.
Umræða:
Fyrsta skrefið er að endurskrifa formúluna fyrir lögmál Coulombs:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Nú setjum við þekkt gildi inn í formúluna:
[k_e = 8.9875 × 10^9, N m^2 C^{-2}]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -3 \times 10^{-6} \, C \]
[r = 0,05 m]
Við setjum þessi gildi inn í formúluna:
[F = 8.9875 × 10^9, \frac{|2 × 10^{-6} ≈3 × 10^{-6}|}{(0,05)^2}]
\[ F = 8.9875 × 10^9 \, \frac{6 × 10^{-12}}{0,0025} \]
\[ F = 8.9875 × 10^9 \, \frac{6 × 10^{-12}}{2,5 × 10^{-3}} \]
\[ F = 8.9875 × 10^9, \[ 2,4 × 10^9 ]
\[F = 21.57 \, N \]
Þar sem hleðslan \(q_2 \) er neikvæð, þá er rafstöðukrafturinn sem virkar aðdráttarkraftur, því jákvæðar og neikvæðar hleðslur dragast hvor að annarri.
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Tvær rafhleðslur, \(q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \) og \(q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \), eru 0,1 metra frá hvor annarri. Reiknið út stærð rafstöðukraftsins sem verkar á \(q_1 \).
Umræða:
Notaðu formúluna fyrir lögmál Coulombs aftur:
\[ F = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Settu þekkt gildi í staðinn:
[k_e = 8.9875 × 10^9, N m^2 C^{-2}]
\[ q_1 = 5 \times 10^{-9} \, C \]
\[ q_2 = 10 \times 10^{-9} \, C \]
[r = 0,1 m]
[F = 8.9875 × 10^9, (5 × 10^9) (10 × 10^9)/(0,1)^2)]
\[ F = 8.9875 × 10^9 \, \frac{50 × 10^{-18}}{0,01} \]
\[ F = 8.9875 × 10^9, \[ 5 × 10^15 ]
\[F = 44.9375 \, N \]
Krafturinn sem verkar er fráhrindandi kraftur, því bæði hleðslurnar \(q_1 \) og \(q_2 \) hafa sama formerki, þ.e. jákvæða.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Þrjár punkthleðslur eru í beinni línu. Fyrsta hleðslan er q_1 = 2 μC, önnur hleðslan er q_2 = -1 μC og þriðja hleðslan er q_3 = 3 μC. Fjarlægðin milli q_1 og q_2 er 0,1 m, en fjarlægðin milli q_2 og q_3 er 0,2 m. Reiknið stærð og stefnu heildarstöðukraftsins sem verkar á q_2.
Umræða:
Fyrst reiknum við rafstöðukraftinn milli \(q_1 \) og \(q_2 \):
\[ F_{12} = k_e \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
[k_e = 8.9875 × 10^9, N m^2 C^{-2}]
\[ q_1 = 2 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
[r = 0,1 m]
\[ F_{12} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{(2 × 10^{-6}) (-1 × 10^{-6})}{(0,1)^2} \]
\[ F_{12} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{2 × 10^{-12}}{0,01} \]
[F_{12} = 8.9875 × 10^9, × 2 × 10^{-10}]
\[ F_{12} = 1.7975 \, N \]
Þar sem \(q_1 \) er jákvæður og \(q_2 \) er neikvæður, þá er krafturinn \(F_{12} \) aðdráttarkraftur sem beinist að \(q_1 \).
Í öðru lagi reiknum við rafstöðukraftinn á milli \(q_2 \) og \(q_3 \):
\[ F_{23} = k_e \frac{|q_2 \cdot q_3|}{r^2} \]
\[ q_2 = -1 \times 10^{-6} \, C \]
\[ q_3 = 3 \times 10^{-6} \, C \]
[r = 0,2 m]
\[ F_{23} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{(-1 × 10^6) (3 × 10^6)}{(0,2)^2} \]
\[ F_{23} = 8.9875 × 10^9 \, \frac{3 × 10^{-12}}{0,04} \]
[F_{23} = 8.9875 × 10^9, × 7.5 × 10^{-11}]
\[ F_{23} = 0.67406 \, N \]
Þar sem \(q_2 \) er neikvætt og \(q_3 \) er jákvætt, þá er krafturinn \(F_{23} \) aðdráttarkraftur sem beinist að \(q_3 \).
Að lokum sameinum við kraftana báða til að finna lokaniðurstöðuna:
Heildarkraftur á \(q_2 \):
\[ F_{\texti{samtals}} = F_{12} – F_{23} \]
\[ F_{\text{samtals}} = 1.7975 \, N – 0.67406 \, N \]
\[ F_{\text{samtals}} = 1.12344 \, N \]
Heildarkrafturinn stefnir í átt að \(q_1 \) því krafturinn \(F_{12} \) er meiri en \(F_{23} \).
Niðurstaða
Lögmál Coulombs veitir mikilvæga innsýn í víxlverkun rafhleðinga, bæði aðdráttar- og fráhrindandi hleðslna. Dæmin sem rædd eru sýna fram á beitingu þessa lögmáls við útreikning á rafstöðukrafti með því að taka tillit til stærðar hleðslnanna og fjarlægðarinnar á milli þeirra. Ítarlegur skilningur á lögmáli Coulombs getur hjálpað okkur að skilja hin ýmsu raf- og segulfyrirbæri sem eiga sér stað í kringum okkur.
