Dæmi um spurningar um kraft á hreyfingu hleðslu
Pendahuluan
Eðlisfræði er rannsókn á náttúrufyrirbærum, þar á meðal kröftum sem verka á hluti. Eitt áhugavert efni sem oft er rætt er krafturinn sem verkar á hleðslur á hreyfingu, sérstaklega í samhengi við raf- og segulsvið. Krafturinn sem verkar á hleðslu á hreyfingu í raf- eða segulsviði er þekktur sem Lorentz-krafturinn. Í þessari grein verður fjallað um nokkur dæmi um vandamál og umfjöllun um þau varðandi kraftinn sem verkar á hleðslur á hreyfingu.
Lorentz-krafturinn
Lorentz-krafturinn er samsetning rafkrafts og segulkrafts sem verkar á hleðslu sem hreyfist í rafsviði og segulsviði. Stærðfræðilega má tákna Lorentz-kraftinn (F) með jöfnunni:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Hvar:
– \( \mathbf{F} \) er Lorentz krafturinn
– \(q \) er hleðslan
– \( \mathbf{E} \) er rafsviðið
– \( \mathbf{v} \) er hraði hleðslunnar
– \( \mathbf{B} \) er segulsviðið
Með þessari jöfnu getum við greint kraftana sem verka á hleðslu sem hreyfist í rafsviði og segulsviði.
Dæmi um spurningar og umræður
Spurning 1: Kraftur á hleðslu í rafsviði
Spurning:
Jákvæð hleðsla (q = 2 × 10⁻⁶, C) er í einsleitu rafsviði (E = 5 × 10⁻⁴, N/C) sem stefnir til hægri. Reiknið út kraftinn sem verkar á hleðsluna.
Umræða:
Fyrir hleðslu í rafsviði án segulsviðs samanstendur Lorentz-krafturinn aðeins af rafkraftsþættinum:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} \]
Með (q = 2 × 10⁻⁶, C) og (E = 5 × 10⁻⁴, N/C):
[\mathbf{F} = (2 × 10^{-6} \, C) × (5 × 10^4 \, N/C)\]
\[ \mathbf{F} = 0.1 \, N \]
Krafturinn \( \mathbf{F} \) er í sömu átt og rafsviðið því hleðslan er jákvæð. Þannig að krafturinn sem verkar á hleðsluna er 0.1 N til hægri.
Spurning 2: Kraftur á hleðslu í segulsviði
Spurning:
Neikvæð hleðsla (q = -3 × 10⁻⁶, C) hreyfist með hraða (v = 2 × 10⁻³, m/s) eftir x-ásnum í einsleitu segulsviði (B = 0.5, T) sem beinist eftir z-ásnum. Reiknið kraftinn sem verkar á hleðsluna.
Umræða:
Fyrir hleðslu sem hreyfist í segulsviði án þess að rafsvið sé til staðar, samanstendur Lorentz-krafturinn aðeins af segulkraftsþáttunum:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Með (q = -3 × 10⁻⁶, C), (v = 2 × 10⁻³, m/s) í x-átt og (B = 0.5 × 10⁻³, T) í z-átt:
Útreikningur \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 2 \times 10^3 \, m/s \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{B} = 0.5 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (2 \mathbf{10^3 \, m/s \, ht{i}) \mathbf{0.5 \, T \, ht{k})]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 2 \times 10^3 \, m/s \times 0.5 \, T \, \hat{i} \times \hat{k} \]
\[ \hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = – (1 \times 10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{j} \]
Svo, segulkrafturinn:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
[\mathbf{F} = (-3 × 10^{-6}C) × (-10^3, T ⋅ m/s, \hat{j})]
\[ \mathbf{F} = 3 \x 10^{-3} \, N \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{F} = 0.003 \, N \, \hat{j} \]
Krafturinn \( \mathbf{F} \) er í átt að jákvæða y-ásnum. Þannig er krafturinn sem verkar á hleðsluna 0.003 N upp á við (í jákvæða y-ásnum).
Spurning 3: Kraftur á hleðslu í raf- og segulsviðum
Spurning:
Jákvæð hleðsla (q = 1.5 × 10⁻⁶, C) hreyfist með hraða (v = 4 × 10⁴, m/s) í y-átt í rafsviði (E = 3 × 10⁴, N/C) í x-átt og segulsviði (B = 0.2 × 1, T) í z-átt. Reiknið út nettókraftinn sem verkar á hleðsluna.
Umræða:
Heildar Lorentz-kraftur:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
Fyrst skaltu reikna út \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 4 \times 10^3 \, m/s \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{B} = 0.2 \, T \, \hat{k} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (4 \mathbf{10^3 \, m/s \, ht{j}) \mathbf{0.2 \, T \, ht{k})]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 4 \times 10^3 \, m/s \times 0.2 \, T \, \hat{j} \times \hat{k} \]
\[ \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \]
[\mathbf{v} \mathbf{B} = (0.8 \mathbf{10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{i} \]
[\mathbf{v} \times \mathbf{B} = 800 \, T \cdot m/s \, \hat{i} \]
Þá, rafkrafturinn:
[q E = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (3 × 10⁻⁴, N/C, ht.i)]
\[ q \mathbf{E} = 0.045 \, N \, \hat{i} \]
Segulkraftur:
[q(v × B) = (1.5 × 10⁻⁶, C) × (800, T ≤ m/s, ht i)]
\[ q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
Heildarstíll:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} + q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
\[ \mathbf{F} = 0.045 \, N \, \hat{i} + 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{F} = 0.0462 \, N \, \hat{i} \]
Þannig að heildarkrafturinn sem verkar á hleðsluna er 0.0462 N til hægri (jákvæð x-ás).
Niðurstaða
Krafturinn sem verkar á hleðslur sem hreyfast í raf- og segulsviðum er mjög háður stefnu og stærð hvers sviðs, sem og hraða og gerð hleðslunnar. Með dæmaspurningunum og umræðunni hér að ofan er vonast til að lesendur geti betur skilið hvernig beita má Lorentz-kraftsreglunni í ýmsum aðstæðum. Þessi skilningur er ekki aðeins mikilvægur í orði heldur einnig í hagnýtum tilgangi á tæknilegum og vísindalegum sviðum, svo sem í hönnun rafmótora, skilningi á norðurljósafyrirbærinu og vinnu agna í öreindahröðlum.
