Dæmispurningar og umræða um vaxandi föll, minnkandi föll og kyrrstæð föll
Stærðfræðileg föll eru nokkuð ítarlegt efni og eru full af ýmsum eiginleikum, þar á meðal hvernig hægt er að greina þau út frá vaxandi, minnkandi eða kyrrstöðuástandi. Að vita hvort fall er vaxandi, minnkandi eða fast á gefnu bili er mikilvægt í ýmsum notkun stærðfræðinnar, þar á meðal hagfræði, eðlisfræði og verkfræði. Þessi grein fjallar um dæmi og umræðu um þau tengd vaxandi, minnkandi og kyrrstöðuföllum.
Hvað eru vaxandi föll, minnkandi föll og kyrrstæð föll?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– Fyrir \(x \in (-1, 2) \): Taktu \(x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Þar sem f'(0) < 0, þá er f(x) að minnka á bilinu (-1, 2)). - Fyrir x í (2, infty)): Taktu (x = 3) [f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24]. Þar sem f'(3) > 0, þá er f(x) að aukast á bilinu (2, infty)).
Þannig að fallið \(f(x) \) er vaxandi á bilinu \((-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Dæmi um vandamál 2: Að ákvarða bil lækkandi fallsins
Gefið fallið \(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Ákvarðið bilin þar sem fallið minnkar!
Umræða:
1. Skref 1: Finndu fyrstu afleiðuna:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
[g'(x) = 16x^3 – 24x^2]
2. Skref 2: Ákvarðið mikilvægan punkt:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Þannig að gagnrýnu punktarnir eru \(x = 0 \) og \(x = \frac{3}{2} \).
3. Skref 3: Ákvarðið formmerki fyrstu afleiðunnar á bilinu:
– Fyrir \(x \in (-\infty, 0) \): Taktu \(x = -1 \)
[g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40]
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Þannig að fallið \(g(x) \) minnkar á bilinu \((-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Dæmispurning 3: Að ákvarða bil falls í kyrrstöðu
Gefið fallið \(h(x) = 7 \), ákvarðið þá bil þar sem fallið er kyrrstætt!
Umræða:
Fastafall eins og \(h(x) = 7 \) hefur fyrstu afleiðu núlls fyrir öll \(x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Þar sem fyrsta afleiðan er alltaf núll, er fallið kyrrstætt á öllu lénsmenginu, þannig að við getum sagt að fallið \( h(x) = 7 \) sé kyrrstætt á öllum rauntölum, sem í bilamerkingu er \( (-\infty, \infty) \).
Niðurstaða
Að skilja bil vaxandi, minnkandi og kyrrstæðra ástanda falls er nauðsynlegur hluti af fallgreiningu. Með dæmunum hér að ofan höfum við fjallað um grunnhugtökin og skrefin sem þarf til að finna þessi bil. Þessi þekking er afar gagnleg í ýmsum hagnýtum og fræðilegum notkunum stærðfræðinnar.
