Dæmispurningar og umræða um vaxandi föll, minnkandi föll og kyrrstæð föll
Stærðfræðileg föll eru nokkuð ítarlegt efni og eru full af ýmsum eiginleikum, þar á meðal hvernig hægt er að greina þau út frá vaxandi, minnkandi eða kyrrstöðuástandi. Að vita hvort fall er vaxandi, minnkandi eða fast á gefnu bili er mikilvægt í ýmsum notkun stærðfræðinnar, þar á meðal hagfræði, eðlisfræði og verkfræði. Þessi grein fjallar um dæmi og umræðu um þau tengd vaxandi, minnkandi og kyrrstöðuföllum.
Hvað eru vaxandi föll, minnkandi föll og kyrrstæð föll?
1. Vaxandi fall: Fall \(f(x) \) er sagt vera vaxandi á bili \(I \) ef fyrir hvert \(x_1 \) og \(x_2 \) í \(I \) með \(x_1 < x_2 \), höfum við \(f(x_1) ≤ f(x_2) \). 2. Minnkandi fall: Öfugt er fall \(f(x) \) sagt vera minnkandi á bili \(I \) ef fyrir hvert \(x_1 \) og \(x_2 \) í \(I \) með \(x_1 < x_2 \), höfum við \(f(x_1) ≤ f(x_2) \). 3. Stöðug fall: Fall \(f(x) \) er sagt vera stöðugt á bilinu \(I \) ef fyrir hvert \(x \) í \(I \) hefur fallið sama gildi, þ.e. \(f(x) = c \) fyrir hvert \(x \) í \(I \), þar sem c er fasti. Dæmispurning 1: Að ákvarða bil vaxandi falls Gefið fallið \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Ákvarðið bilið þar sem fallið er vaxandi! Umræða: Til að ákvarða bilið þar sem fallið er vaxandi þurfum við að finna fyrstu afleiðu fallsins og síðan greina formmerki afleiðunnar. 1. Skref 1: Finndu fyrstu afleiðuna: \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Skref 2: Ákvarðaðu gagnrýnipunktana: Gagnrýnipunktarnir eru þeir punktar þar sem fyrsta afleiðan er núll eða óskilgreind. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Deilum allri jöfnunni með 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Við þáttum þessa annars stigs jöfnu: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Því eru gagnrýnipunktarnir \( x = 2 \) og \( x = -1 \). 3. Skref 3: Ákvarðið formerki fyrstu afleiðunnar á bilinu sem myndast af gagnrýnu punktunum: Við munum búa til formerkjatöflu fyrir \( f'(x) \) á bilunum \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) og \( (2, \infty) \). - Fyrir \( x \( (-\infty, -1) \): Takið \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Þar sem \( f'(-2) > 0 \), þá er \( f(x) \) að aukast á bilinu \( (-\infty, -1) \).
– Fyrir \(x \in (-1, 2) \): Taktu \(x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Þar sem f'(0) < 0, þá er f(x) að minnka á bilinu (-1, 2)). - Fyrir x í (2, infty)): Taktu (x = 3) [f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24]. Þar sem f'(3) > 0, þá er f(x) að aukast á bilinu (2, infty)).
Þannig að fallið \(f(x) \) er vaxandi á bilinu \((-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Dæmi um vandamál 2: Að ákvarða bil lækkandi fallsins
Gefið fallið \(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Ákvarðið bilin þar sem fallið minnkar!
Umræða:
1. Skref 1: Finndu fyrstu afleiðuna:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
[g'(x) = 16x^3 – 24x^2]
2. Skref 2: Ákvarðið mikilvægan punkt:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Þannig að gagnrýnu punktarnir eru \(x = 0 \) og \(x = \frac{3}{2} \).
3. Skref 3: Ákvarðið formmerki fyrstu afleiðunnar á bilinu:
– Fyrir \(x \in (-\infty, 0) \): Taktu \(x = -1 \)
[g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40]
Þar sem \(g'(-1) < 0 \), þá er \(g(x) \) að minnka á bilinu \((-\infty, 0) \). - Fyrir \(x \in (0, \frac{3}{2}) \): Taktu \(x = 1 \) [g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \] Þar sem \(g'(1) < 0 \), þá er \(g(x) \) að minnka á bilinu \((0, \frac{3}{2}) \). - Fyrir \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Taktu \( x = 2 \) \[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \] Þar sem \( g'(2) > 0 \), þá er \( g(x) \) að aukast á bilinu \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Þannig að fallið \(g(x) \) minnkar á bilinu \((-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Dæmispurning 3: Að ákvarða bil falls í kyrrstöðu
Gefið fallið \(h(x) = 7 \), ákvarðið þá bil þar sem fallið er kyrrstætt!
Umræða:
Fastafall eins og \(h(x) = 7 \) hefur fyrstu afleiðu núlls fyrir öll \(x \):
\[ h'(x) = 0 \]
Þar sem fyrsta afleiðan er alltaf núll, er fallið kyrrstætt á öllu lénsmenginu, þannig að við getum sagt að fallið \( h(x) = 7 \) sé kyrrstætt á öllum rauntölum, sem í bilamerkingu er \( (-\infty, \infty) \).
Niðurstaða
Að skilja bil vaxandi, minnkandi og kyrrstæðra ástanda falls er nauðsynlegur hluti af fallgreiningu. Með dæmunum hér að ofan höfum við fjallað um grunnhugtökin og skrefin sem þarf til að finna þessi bil. Þessi þekking er afar gagnleg í ýmsum hagnýtum og fræðilegum notkunum stærðfræðinnar.
