Dæmi um umræðuspurningar um jafna dreifingu
Jafndreifing er ein einfaldasta gerð líkindadreifingar í tölfræði. Hún skiptist í tvær megingerðir: stakræna jafndreifingu og samfellda jafndreifingu. Í þessari grein munum við ræða báðar gerðir jafndreifingar, gefa dæmi og ræða lausnir á þessum vandamálum.
Stafræn einsleit dreifing
Stafræn einsleit dreifing er líkindadreifing þar sem allar mögulegar útkomur tilraunar eða atburðar hafa jafna möguleika á að eiga sér stað. Einföldustu dæmin eru að kasta teningi eða velja spil úr mengi eins spila.
Dæmi um spurningu 1
Spurning:
Teningur með réttu teningnum hefur 6 hliðar, númeraðar frá 1 til 6. Ákvarðið líkurnar á að fá 4 í einu teningakasti.
Umræða:
Þar sem líkurnar á að hvor hlið á réttum teningi birtist eru jafnar, getum við sagt að líkurnar á hvorri hlið séu:
P(A) = 1/n
Þar sem n er heildarfjöldi mögulegra útkoma. Í þessu tilfelli er n = 6.
Líkur á að fá töluna 4 eru því:
P(4) = 1/6 ≈ 0.167 eða 16.7%
Dæmi um spurningu 2
Spurning:
Kassi inniheldur 10 kúlur númeraðar frá 1 til 10. Ef ein kúla er dregin af handahófi, finndu þá líkurnar á að sú kúla hafi tölu sem er stærri en 7.
Umræða:
Fjöldi gildra kúlna eru kúlur númeraðar 8, 9 og 10. Það eru því 3 gildar kúlur af samtals 10 kúlum.
P(B) = fjöldi kúlna sem uppfylla skilyrðin / heildarfjöldi kúlna
P(B) = 3 / 10 = 0.3 eða 30%
Samfelld jafndreifing
Samfelld einsleit dreifing er dreifing þar sem öll gildi innan tiltekins bils hafa jafna líkur á að koma fyrir. Þessi dreifing kemur oft upp í aðstæðum þar sem allar niðurstöður innan tiltekins bils eru jafn líklegar.
Dæmi um spurningu 3
Spurning:
Segjum sem svo að X sé tilviljunarbreyta sem er jafnt dreifð á milli 0 og 1. Finndu líkurnar á því að X sé á milli 0.25 og 0.75.
Umræða:
Fyrir samfellda, jafna dreifingu er líkindaþéttleikinn fastur yfir allt bilið. Í þessu tilviki er bilið frá 0 til 1, sem þýðir að líkindaþéttleikinn (f(x)) er 1 því að jafna dreifing verður að hafa heildarflatarmál undir ferlinum 1.
Líkurnar á að X sé á milli 0.25 og 0.75 má reikna sem flatarmálið undir PDF-ferlinum (líkindaþéttleikafalli) milli þessara tveggja marka.
P(0.25 ≤ X ≤ 0.75) = (b – a) / (d – c)
Þar sem a og b eru neðri og efri mörk þess bils sem við erum að leita að, og c og d eru mörk einsleitrar dreifingar. Í þessu tilfelli er a = 0.25, b = 0.75, c = 0 og d = 1.
P(0.25 ≤
Þannig að líkurnar á að X sé á milli 0.25 og 0.75 eru 0.5 eða 50%.
Dæmi um spurningu 4
Spurning:
Mæling er gerð með tæki með jafna nákvæmnidreifingu yfir bilið [2, 5]. Finndu líkurnar á að mælingin gefi gildi á milli 3 og 4.
Umræða:
Fyrir jafna dreifingu á bilinu [2, 5] er líkindaþéttleikinn fasti og heildarflatarmálið undir ferlinum er 1. Þannig er líkindaþéttleikinn (f(x)) 1/(5-2) = 1/3.
Líkurnar á að mælingin sé á bilinu 3 til 4 eru:
P(3 ≤ X ≤ 4) = (b – a) / (d – c)
Þar sem a og b eru mörk þess bils sem við erum að leita að, og c og d eru mörk jafndreifingarinnar. Í þessu tilfelli eru a = 3, b = 4, c = 2 og d = 5.
P(3 ≤ X ≤ 4) = (4 – 3) / (5 – 2) = 1/3 ≈ 0.333 eða 33.3%
Niðurstaða
Jafndreifing er mjög gagnlegt tól í líkindagreiningu og tölfræðilegri greiningu vegna einfaldleika hennar og auðskiljanleika. Bæði í stakrænni og samfelldri mynd tryggir jafndreifingin að allar niðurstöður innan tiltekins bils hafi sömu líkur.
Lykilatriði
1. Staðbundin jafndreifing: Líkur hverrar útkomu innan ákveðins bils eru þær sömu. Dæmi: að kasta réttlátum teningi.
2. Samfelld jafndreifing: Líkindaþéttleikinn er stöðugur allt tímabilið. Dæmi: að mæla lengd eða þyngd með nákvæmu tæki innan ákveðins bils.
Með því að skilja þetta hugtak og með dæmum og umræðum getum við auðveldlegar beitt jafndreifingunni á ýmsar raunverulegar aðstæður og rannsóknir. Þetta hjálpar til við að skýra fyrirbæri sem hafa jafn líklegar útkomur, hvort sem er í stakrænu eða samfelldu formi.
Jafndreifingar eru gagnlegar ekki aðeins í tölfræði, heldur einnig í tölvunarfræði, verkfræði, hagfræði og mörgum öðrum sviðum þar sem ákvarðanataka eða gagnagreining er nauðsynleg. Til dæmis, í Monte Carlo hermunum eru einsleitar dreifingar oft notaðar til að búa til handahófskenndar vigrar innan ákveðins sviðs, sem síðan eru notaðir til að meta ýmsar sviðsmyndir og niðurstöður.
Við vonum að þessi grein hafi hjálpað þér að skilja betur jafna dreifingu og hvernig á að leysa vandamál með hana. Haltu áfram að æfa þig til að ná tökum á þessu hugtaki og beittu því í raunverulegum tilvikum sem tengjast þínu sviði.
