Dæmispurningar og umræða um líkindadreifingu
Líkindadreifing er eitt af grundvallarhugtökum í tölfræði og líkindadreifingu. Hún er notuð til að skilja líkurnar á að mismunandi gildi slembitölu komi fyrir. Líkindadreifingar geta tekið á sig margar myndir eftir eðli gagnanna sem verið er að greina. Tvær algengustu gerðir líkindadreifinga eru stakar og samfelldar. Í þessari grein munum við fara yfir nokkur dæmi um vandamál og ræða líkindadreifingar til að hjálpa okkur að skilja þetta efni betur.
Stafræn dreifing
Stafræn dreifing er dreifing sem reiknar út líkur á stakrænni handahófsbreytu, það er breytu sem getur aðeins tekið á sig ákveðin gildi. Þekkt dæmi um stakrænar dreifingar eru tvíliðadreifing og Poisson-dreifing.
Dæmi 1: Tvíliðudreifing
Tvíliðudreifing lýsir fjölda árangursríkra tilrauna í röð Bernoulli-tilrauna. Hver Bernoulli-tilraun hefur tvær útkomur: árangur eða mistök. Líkur á árangri eru stöðugar allan tímann sem tilraunin stendur yfir.
Spurning:
Lyfjafyrirtæki er að prófa nýtt lyf á 10 sjúklingum. Líkurnar á að lyfið virki á einhvern sjúkling eru 0.7. Reiknaðu líkurnar á að lyfið virki á nákvæmlega 7 af hverjum 10 sjúklingum.
Umræða:
Slembibreytan \(X\) fylgir tvíliðudreifingu með \(n = 10\) og \(p = 0.7\). Tvíliðudreifingarfallið er:
[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k(1 – p)^{n – k}]
Fyrir \(k = 7\):
[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Að reikna tvíliðastuðulinn \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Útreikningur á líkindagildum:
[P(X = 7) = 120 × (0.7)^7 × (0.3)^3]
[P(X = 7) = u.þ.b. 120 × 0.0823543 × 0.027]
[P(X = 7) \u.þ.b. 0.231 \]
Þannig að líkurnar á að lyfið virki hjá nákvæmlega 7 af hverjum 10 sjúklingum eru um 0.231 eða 23.1%.
Dæmi 2: Poisson-dreifing
Poisson-dreifing er notuð til að líkja eftir fjölda tilvika sjaldgæfra atburða innan tiltekins tíma- eða rúmbils.
Spurning:
Verslun fær að meðaltali 4 viðskiptavini á klukkustund. Hverjar eru líkurnar á að verslunin fái nákvæmlega 5 viðskiptavini á einni klukkustund?
Umræða:
Slembibreytan \(X\) fylgir Poisson-dreifingu með breytunni \(\lambda = 4\). Poisson-líkindafallið er:
[P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Fyrir \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Fjöldi:
[P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
[P(X = 5) \u.þ.b. \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
[P(X = 5) \u.þ.b. 0.156 \]
Þannig að líkurnar á að verslunin fái nákvæmlega 5 viðskiptavini á einni klukkustund eru um 0.156 eða 15.6%.
Stöðug dreifing
Samfelldar dreifingar eru notaðar þegar slembibreytan sem verið er að mæla getur tekið hvaða gildi sem er innan ákveðins bils. Þekkt dæmi um samfelldar dreifingar eru normaldreifing og veldisvísisdreifing.
Dæmi 3: Normaldreifing
Normaldreifing, oft kölluð Gaussdreifing, er dreifing sem er algeng í ýmsum sviðum, þar á meðal vísindum, verkfræði og hagfræði.
Spurning:
Hæð fullorðinna karla í borg er normaldreifð með meðaltali 170 cm og staðalfráviki 10 cm. Hverjar eru líkurnar á því að handahófskennt valinn maður sé á milli 160 cm og 180 cm á hæð?
Umræða:
Við þurfum að reikna út z-gildið fyrir 160 cm og 180 cm. Z-gildið er skilgreint sem:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Fyrir \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Fyrir \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Nú þurfum við að skoða líkindagildin frá -1 til 1 í z-töflunni. Gildið frá z = -1 til z = 1 er um það bil 0.6826.
Þannig að líkurnar á því að handahófskennt valinn maður sé á milli 160 cm og 180 cm á hæð eru um það bil 0.6826 eða 68.26%.
Dæmi 4: Veldisvísisdreifing
Veldisvísisdreifing er notuð til að líkja eftir tímanum milli atburða í Poisson-ferli.
Spurning:
Meðaltími milli komu tveggja viðskiptavina í verslun er 15 mínútur. Hverjar eru líkurnar á að tíminn milli komu tveggja viðskiptavina sé styttri en 10 mínútur?
Umræða:
Veldisvísisdreifingin hefur breytu \(\lambda\) sem er andhverfa meðaltalsins (\(\mu\)). Með meðaltali 15 mínútur:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Veldisvísisdreifingarfallið er:
[P(X ≤ x) = 1 – e^{-Δx}]
Fyrir \(x = 10\):
[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 \times 10}]
[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667}]
[P(X ≤ 10) = u.þ.b. 1 – 0.5134]
[P(X ≤ 10) = u.þ.b. 0.4866]
Þannig að líkurnar á því að tíminn milli komu tveggja viðskiptavina sé innan við 10 mínútur eru um 0.4866 eða 48.66%.
Niðurstaða
Líkindadreifingar, bæði stakar og samfelldar, eru mjög gagnleg hugtök til að líkja eftir og skilja hegðun handahófsbreyta. Tvíliðudreifingar og Poisson-dreifingar eru oft notaðar fyrir stakar breytur, en normal- og veldisvísisdreifingar eru dæmi um samfelldar dreifingar.
Við vonum að þú hafir, með dæmunum hér að ofan, öðlast betri skilning á því hvernig á að reikna og túlka líkur í líkindadreifingum. Með stöðugri æfingu mun hæfni þín til að skilja líkindadreifingar batna og hægt er að beita henni á ýmsum fræðigreinum.
