Dæmi um umræðuspurningar um stærðfræðilega útvíkkun
Útvíkkun, eða umbreyting sem felur í sér stækkun og minnkun, er mikilvægt hugtak í umbreytingarrúmfræði. Þetta hugtak kemur oft fyrir í ýmsum samhengjum, svo sem í rannsóknum á mynstrum, samhverfu og mörgum öðrum raunverulegum notkunum. Þessi grein fjallar um hugtakið útvíkkun í stærðfræði og veitir nokkur dæmi um vandamál og lausnir.
Hvað er útvíkkun?
Útvíkkun er rúmfræðileg umbreyting sem felur í sér að stækka eða minnka mynd um ákveðinn kvarðastuðul. Í útvíkkun mun punktur á rúmfræðilegri mynd færast frá eða nær miðju útvíkkunarinnar um sama þátt. Útvíkkun getur stækkað (kvarðastuðull > 1), minnkað (0 < kvarðastuðull < 1) eða jafnvel endurspeglað myndina ef kvarðastuðullinn er neikvæður. Táknmyndir í útvíkkun Þegar útvíkkun er framkvæmd eru nokkrar táknmyndir sem oft eru notaðar: - Útvíkkunarmiðja (P): Fastur punktur sem er notaður sem viðmiðun í útvíkkunarferlinu. - Kvarðastuðull (k): Hlutfall lengda sem ákvarðar hversu mikil stækkun eða minnkun á sér stað. Ef \(k > 1 \) verður hluturinn stækkaður. Ef \(0 < k < 1 \) verður hluturinn minnkaður.
Gerum ráð fyrir að punktur A með hnit (x, y) sé víkkaður út að punkti A' með kvarðastuðli k og miðja víkkunarinnar er við O (0,0), þá eru hnit A' (kx, ky). Útvíkkunarformúla Til að finna nýju hnit víkkaðrar niðurstöðu punkts er formúlan sem notuð er: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] þar sem (x, y) eru upphafshnit punktsins og k er kvarðastuðullinn. Dæmispurningar og umræður Dæmispurning 1 Punktur A (2, 3) er víkkaður út með kvarðastuðli 2 og miðja víkkunarinnar er við O (0, 0). Ákvarðið hnit punkts A eftir víkkun. Umræða: Hnit punkts A eru (2, 3), kvarðastuðullinn er k = 2 og miðja víkkunarinnar er við punkt O (0, 0). Samkvæmt útvíkkunarformúlunni: [A' = (kx, ky) = (2 ⋅2, 2 ⋅3) = (4, 6)] Þannig eru hnit punktsins A eftir útvíkkun (4, 6). Dæmi: Spurning 2: Punkturinn B (-1, 4) er útvíkkaður með kvarðastuðlinum 0,5 og miðja útvíkkunarinnar er við punktinn O (0, 0). Ákvarðið hnit punktsins B eftir útvíkkun. Lausn: Hnit punktsins B eru (-1, 4), kvarðastuðullinn k = 0,5 og miðja útvíkkunarinnar er við punktinn O (0, 0). Samkvæmt útvíkkunarformúlunni: [B' = (kx, ky) = (0,5 ⋅-1, 0,5 ⋅4) = (-0,5, 2)] Þannig að hnit punktsins B eftir útvíkkun eru (-0,5, 2). Dæmispurning 3 Punkturinn C (3, -2) er útvíkkaður með kvarðastuðlinum -1 og miðja útvíkkunarinnar er í punktinum O (0, 0). Ákvarðið hnit punktsins C eftir útvíkkun. Lausn: Hnit punktsins C eru (3, -2), kvarðastuðullinn k = -1 og miðja útvíkkunarinnar er í punktinum O (0, 0). Samkvæmt útvíkkunarformúlunni: [C' = (kx, ky) = (-1 ⋅ 3, -1 ⋅ -2) = (-3, 2)] Þannig að hnit punktsins C eftir útvíkkun eru (-3, 2). Dæmispurning 4 Punkturinn D (2, 5) er útvíkkaður með kvarðastuðlinum 3 og miðja útvíkkunarinnar er í punktinum P (1, 1). Ákvarðið hnit punktsins D eftir útvíkkun. Umræða: Hnit punktsins D eru (2, 5), kvarðastuðullinn k = 3 og miðpunktur útvíkkunarinnar er punkturinn P (1, 1). Fyrst færum við punktinn D að hnitakerfi miðpunktar útvíkkunarinnar P (1, 1): Hlutfallsleg hnit D gagnvart P eru: [D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4)] Framkvæmum útvíkkun með kvarðastuðli k í punktinum D_r: [D_r' = (kx, ky) = (3 1, 3 4) = (3, 12)] Að lokum færum við punktinn D_r' aftur í upphafshnitakerfið: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Þannig að hnit punktsins D eftir útvíkkun eru (4, 13). Dæmispurning 5 Punkturinn E (-2, -3) er útvíkkaður með kvarðastuðlinum 0,25 og miðja útvíkkunarinnar er í P (-1, -1). Ákvarðið hnit punktsins E eftir útvíkkun. Lausn: Hnit punktsins E eru (-2, -3), kvarðastuðullinn k = 0,25 og miðja útvíkkunarinnar er punkturinn P (-1, -1). Fyrst færum við punkt E yfir í útvíkkunarmiðjuhnitkerfið P (-1, -1): Hlutfallsleg hnit E gagnvart P eru: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Framkvæmum útvíkkun með kvarðastuðli k á punktinum E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 ⋅ -1, 0,25 ⋅ -2) = (-0,25, -0,5) \] Að lokum færum við punktinn E_r' aftur í upprunalega hnitakerfið: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Þannig að hnit punktsins E eftir útvíkkun eru (-1,25, -1,5). Niðurstaða: Útvíkkun er rúmfræðileg umbreyting sem stækkar eða minnkar rúmfræðilega mynd um ákveðinn kvarðastuðul. Að skilja hugtakið og notkun útvíkkunar er mjög gagnlegt á ýmsum sviðum náms, sérstaklega í rúmfræði. Með dæmum og umræðum er vonast til að þetta muni hjálpa nemendum og lesendum að skilja betur og beita hugtakinu útvíkkun í ýmsum stærðfræðilegum aðstæðum.