Dæmispurningar um ákvarðanir og fylkjaandhverfur
Fylkisákvarðanir og fylkisandhverfur eru tvö grundvallarhugtök í línulegri algebru sem hafa víðtæka notkun á ýmsum sviðum, þar á meðal stærðfræði, eðlisfræði, hagfræði og verkfræði. Ítarlegur skilningur á þessum hugtökum er nauðsynlegur til að leysa mörg flókin stærðfræðileg vandamál. Í þessari grein munum við ræða dæmi um fylkisákvarðanir og andhverfur, ásamt ítarlegri umfjöllun.
Fylkisákvarða
Ákveðni er skalar sem tengist ferningsfylki (fylki með sama fjölda raða og dálka). Ákveðni getur gefið mikilvægar upplýsingar um eiginleika fylkisins, eins og hvort það sé umsnúanlegt eða ekki.
Dæmispurning 1: Ákvarðandarstuðull 2×2 fylkis
Gefin er fylkið \(A \) sem hér segir:
\[
A = \begin{pmatrix}
4 og 3
2 & 1
\end{pmatrix}
\]
Ákvarðið ákveðu fylkisins \(A \).
Umræða:
Fyrir 2×2 fylki er hægt að reikna út ákveðuna með eftirfarandi einföldu formúlu:
\[
\text{det}(A) = ad – bc
\]
þar sem \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Skipting staka í fylkinu \(A \):
\[
\text{det}(A) = (4 × 1) – (3 × 2) = 4 – 6 = -2
\]
Þannig að ákveðuþáttur fylkisins \(A \) er -2.
Dæmispurning 2: Ákvarðandarstuðull 3×3 fylkis
Gefin er fylkið \(B \) sem hér segir:
\[
B = \begin{pmatrix}
1 og 2 og 3
0 og 1 og 4
5 og 6 og 0
\end{pmatrix}
\]
Ákvarðið ákveðu fylkisins \(B \).
Umræða:
Fyrir 3×3 fylki er hægt að reikna út ákveðuna með Sarrus-reglunni eða meðvirkum þáttum. Hér munum við nota Sarrus-regluna til að einfalda útreikninginn.
Afritaðu fyrstu tvo dálkana hægra megin í fylkinu:
\[
\text{det}(B) = \begin{vmatrix}
1 og 2 og 3
0 og 1 og 4
5 og 6 og 0
\end{vmatrix}
= 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 – (3\cdot1\cdot5 + 2\cdot0\cdot0 + 1\cdot4\cdot6)
\]
\[
= 0 + 40 + 0 – (15 + 0 + 24)
\]
\[
= 40 – 39 = 1
\]
Þannig að ákveðuþáttur fylkisins \(B \) er 1.
Öfugt fylki
Andhverfa fylkis \(A \) (ef það er til) er fylki \(A^{-1} \) sem uppfyllir eftirfarandi skilyrði:
\[
A ≈ 1 = A ≈ 1 \cdot A = I
\]
þar sem \(I \) er einingarfylkið þar sem skálínuþættirnir eru 1 og hinir þættirnir eru 0.
Dæmispurning 3: Andhverfa 2×2 fylkis
Gefin er fylkið \(C \) sem hér segir:
\[
C = \begin{pmatrix}
1 og 2
3 & 4
\end{pmatrix}
\]
Finndu andhverfu fylkisins \(C \).
Umræða:
Fyrir 2×2 fylki er hægt að reikna andhverfuna með formúlunni:
\[
C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c og a
\end{pmatrix}
\]
þar sem \( C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).
Fyrst reiknum við ákveðu fylkisins \(C \):
\[
\text{det}(C) = (1 \cdot 4) – (2 \cdot 3) = 4 – 6 = -2
\]
Settu síðan inn í öfuga formúluna:
\[
C^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix}
4 og -2 \\
-3 og 1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-2 og 1
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
Þannig að andhverfa fylkisins \( C \) er \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \).
Dæmispurning 4: Andhverfa 3×3 fylkis
Gefin er fylkið \(D \) sem hér segir:
\[
D = \begin{pmatrix}
2 og 0 og 1
3 og 0 og 0
1 og 4 og 2
\end{pmatrix}
\]
Finndu andhverfu fylkisins \(D \).
Umræða:
Fyrir 3×3 eða n×n fylki er algengasta aðferðin sem notuð er stigaaðferðin eða aðlögunaraðferðin. Hér munum við nota stigaaðferðina.
Fyrsta skrefið er að mynda viðbætta fylkið \( [D|I] \) þar sem \( I \) er einingarfylkið:
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
2 og 0 og 1 og 1 og 0 og 0 \\
3 og 0 og 0 og 0 og 1 og 0 \\
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
Framkvæmið síðan einfaldar raðaðgerðir þar til við myndum auðkennisfylkið vinstra megin:
1. Lína 1: \( B_1 \div 2 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
3 og 0 og 0 og 0 og 1 og 0 \\
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
2. Röð 2: \( B_2 – 3B_1 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\
1 & 4 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
3. Lína 3: \( B_3 – B_1 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\
0 & 4 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 1
\end{array}\right]
\]
4. Lína 3: \( B_3 \div 4 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
5. Lína 1: \( B_1 – \frac{1}{2} B_3 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
6. Lína 2: \( B_2 \div - \frac{3}{2} \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 & 1 & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
7. Lína 3: \( B_3 – \frac{3}{8} B_2 \)
\[
\vinstri[\byrjun{fylki}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\
0 & 0 & 1 & 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\
0 & 1 & 0 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\]
Þannig að andhverfa fylkisins \( D \) er \( \begin{pmatrix} \frac{5}{16} & 0 & -\frac{1}{8} \\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \).
Með skilningi á hugtökunum og raunhæfum dæmum sjáum við að hægt er að reikna út ákvarðanir og andhverfur fylkja með tiltölulega einföldum aðferðum, en samt sem áður hafa þau veruleg áhrif á gagnagreiningu og lausn flóknari stærðfræðilegra vandamála. Þessi skilningur er nauðsynlegur í ýmsum forritum, þar á meðal tölvugrafík, gagnagreiningu og línulegum jöfnukerfum.
