Dæmispurningar um flóknar tölur
Tvinntölur eru algengt efni í stærðfræði bæði í framhaldsskóla og háskóla. Tvinntölur eru samansettar af tveimur hlutum: raunhluta og ímyndaða hluta. Með hefðbundinni táknfræði er tvinntala rituð sem \(z = a + bi \), þar sem \(a \) og \(b \) eru rauntölur og \(i \) er ímyndaða einingin með eiginleikanum \(i^2 = -1 \). Þessi grein mun fjalla um nokkur dæmi og umfjöllun um þau varðandi tvinntölur, allt frá grunnaðgerðum til notkunar í lausn vandamála.
Dæmi um spurningar og umræður
1. Samlagning og frádráttur flókinna talna
Spurning 1
Látum \( z_1 = 3 + 4i \) og \( z_2 = 1 – 2i \). Reiknaðu \( z_1 + z_2 \) og \( z_1 – z_2 \).
Umræða
Til að leggja saman eða draga frá tvinntölur, rekjum við einfaldlega rauntöluhlutann með rauntölunni og ímyndaða hlutann með ímyndaða tölunni.
Viðbót:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Frádráttur:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Svo, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) og \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Margföldun flókinna talna
Spurning 2
Reiknið út margfeldið af \(z_1 = 2 + 3i \) með \(z_2 = 4 – i \).
Umræða
Til að margfalda tvær tvinntölur notum við dreifnieiginleika algebrunnar:
\[
z_1 ⋅ z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Við margföldum hvern þátt:
\[
2 ⋅ 4 + 2 ⋅ (-i) + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
Þar sem \(i^2 = -1 \), þá:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Þannig að margfeldið \(z_1 \cdot z_2 \) er \(11 + 10i \).
3. Deiling flókinna talna
Spurning 3
Reiknið út kvótann af \(z_1 = 3 + 4i \) með \(z_2 = 1 – i \).
Umræða
Til að deila tvinntölu margföldum við teljara og nefnara með samtengdu nefnara tvinntölunnar. Samtengda fallið af \(1 – i \) er \(1 + i \).
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Reiknum fyrst nefnarann:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Nú reiknum við teljarann:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Svo, niðurstaðan er:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Stuðull og rökfærsla flókinna talna
Spurning 4
Ákvarðið stuðull og rök fyrir \(z = 1 + i \).
Umræða
Stuðull tvinntölunnar \(z = a + bi \) er:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Fyrir \(z = 1 + i \) höfum við \(a = 1 \) og \(b = 1 \):
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Rökfærsla tvinntölu er hornið _(\theta \) sem myndast við jákvæða rauntöluásinn, mælt frá upphafspunktinum að punktinum _((a, b) \).
\[
θ = tan^{-1}(θ b}{a)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Þannig að stuðullinn á \(z = 1 + i \) er \( \sqrt{2} \) og rökfærslan er \( \frac{\pi}{4} \).
5. Veldisvísisform og Euler-mynstur
Spurning 5
Breyttu tvinntölunni \(z = 1 + i \) í veldisvísisform.
Umræða
Veldisvísisform flókinna talna með formúlu Eulers:
\[
z = re^{i\heta}
\]
Þar sem r er stuðullinn og heta er rökfærslan. Af fyrri umræðu vitum við að:
\[
r = √², √¹ = √¹³
\]
Þannig að veldisvísisformið er:
\[
z = √² e^{iπ/4}
\]
6. Rætur flókinna talna
Spurning 6
Finndu kvaðratrótina af tvinntölunni \(z = -1 \).
Umræða
Kvaðratrót flókinna talna er hægt að finna með því að nota pól- eða veldisvísisform. Við breytum \(z = -1 \) í veldisvísisform:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
Kvaðratrótina af \( e^{i\pi} \) má rita sem:
\[
z_k = √r ⋅ e^{i(θ + 2kπ)/n
\]
Með (r = 1), (heta = π), (n = 2) og (k = 0, 1):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Þannig að kvaðratrótirnar af \(-1 \) eru \(i \) og \(-i \).
7. Notkun í annars stigs jöfnum
Spurning 7
Leysið annars stigs jöfnuna (z² + 4z + 13 = 0).
Umræða
Við getum notað annars stigs formúluna:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Fyrir jöfnuna \(z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 µm ²⁻¹ −16 – 52}}{2 ¹⁴ = \frac{-4 µm ²⁻¹ −36}}{2} = \frac{-4 µm 6i}{2} = -2 µm 3i
\]
Þannig að lausnirnar fyrir \(z^2 + 4z + 13 = 0 \) eru \(z = -2 + 3i \) og \(z = -2 – 3i \).
Niðurstaða
Tvinntölur eru mjög víðtækt stærðfræðilegt hugtak með fjölmörgum notkunarmöguleikum. Með því að skilja grunnaðgerðir eins og samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu, sem og hvernig á að reikna út stuðull og rök, getum við leyst ýmis vandamál sem fela í sér tvinntölur. Vonandi munu dæmin hér að ofan hjálpa þér að skilja þetta efni betur og ná tökum á því.
