Dæmispurningar um samlagningu tveggja atburða A og B sem eru ekki gagnkvæmt útilokandi
Pendahuluan
Í líkindafræði er mikilvægt að skilja grunnhugtök og notkun þeirra. Eitt hugtak sem kemur oft upp er reglan um líkindasamlagningu. Í þessari grein munum við kafa dýpra í samlagningarregluna fyrir tvo óútilokandi atburði. Óútilokandi atburðir eiga sér stað þegar tveir atburðir deila mögulegum þætti, eða með öðrum orðum, báðir atburðirnir geta átt sér stað samtímis. Til að auðvelda skilning skulum við skoða dæmi um vandamál og útskýringu þess.
Grunnkenning
Ef við höfum tvo atburði A og B sem útiloka ekki hvor annan, þá má setja samlagningarregluna fyrir útreikning á líkum atburðar A eða B fram sem:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
Hér:
– \(P(A \cup B) \) er líkurnar á að A eða B (eða bæði) eigi sér stað.
– \(P(A) \) er líkurnar á að atburður A eigi sér stað.
– \(P(B) \) er líkurnar á að atburður B eigi sér stað.
– \( P(A \cap B) \) er líkurnar á því að A og B komi fyrir samtímis.
Dæmi um vandamál
Spurning 1: Í skóla spila 70% nemenda fótbolta (viðburður A), 40% nemenda körfubolta (viðburður B) og 20% nemenda spila báðar íþróttirnar. Hverjar eru líkurnar á að nemandi spili annað hvort fótbolta eða körfubolta?
Umræða:
Það er vitað:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Með því að nota regluna um að leggja saman tvo gagnkvæmt útilokandi atburði:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
[P(A ≤ B) = 0.70 + 0.40 – 0.20]
[P(A ⋅B) = 0.90]
Þannig að líkurnar á því að nemanda líki að spila fótbolta eða körfubolta eru 0.90 eða 90%.
Spurning 2: Í könnun sýndust 35% svarenda hafa gaman af kaffi (tilvik A), 50% svarenda te (tilvik B) og 10% svarenda bæði. Hverjar eru líkurnar á að svaranda líki kaffi eða te?
Umræða:
Það er vitað:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
Með því að nota regluna um að leggja saman tvo gagnkvæmt útilokandi atburði:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
[P(A ≤ B) = 0.35 + 0.50 – 0.10]
[P(A ⋅B) = 0.75]
Þannig að líkurnar á því að svaranda líki kaffi eða te eru 0.75 eða 75%.
Spurning 3: Samkvæmt tölfræðilegum gögnum er vitað að 60% fólks hefur gaman af að lesa bækur (atburður A), 30% fólks hefur gaman af að horfa á kvikmyndir (atburður B) og 15% fólks hefur gaman af að gera hvort tveggja. Hverjar eru líkurnar á að einstaklingi hafi gaman af að lesa bækur eða horfa á kvikmyndir?
Umræða:
Það er vitað:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
Með því að nota regluna um að leggja saman tvo gagnkvæmt útilokandi atburði:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
[P(A ≤ B) = 0.60 + 0.30 – 0.15]
[P(A ⋅B) = 0.75]
Þannig að líkurnar á því að einstaklingur hafi gaman af að lesa bækur eða horfa á kvikmyndir eru 0.75 eða 75%.
Spurning 4: Samkvæmt könnun á veitingastað pöntuðu 55% viðskiptavina pizzu (tilvik A), 35% viðskiptavina pöntuðu pasta (tilvik B) og 20% viðskiptavina pöntuðu hvort tveggja. Hverjar eru líkurnar á að viðskiptavinur panti annað hvort pizzu eða pasta?
Umræða:
Það er vitað:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Með því að nota regluna um að leggja saman tvo gagnkvæmt útilokandi atburði:
[P(A µg B) = P(A) + P(B) – P(A µg B)]
[P(A ≤ B) = 0.55 + 0.35 – 0.20]
[P(A ⋅B) = 0.70]
Þannig að líkurnar á að viðskiptavinur panti pizzu eða pasta eru 0.70 eða 70%.
Niðurstaða
Í líkindarannsóknum er reglan um samlagningu tveggja atburða, A og B, sem eru ekki útilokandi, mjög mikilvæg til að ákvarða líkurnar á að annar eða báðir atburðirnir eigi sér stað samtímis. Með því að nota formúluna \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) er auðvelt að reikna út sameiginlegar líkur tveggja atburða sem hafa skurðpunkt eða sameiginlegt stak.
Með dæmunum hér að ofan sjáum við að skilningur á grunnskrefum þessarar útreiknings gerir okkur kleift að beita henni í ýmsum aðstæðum, hvort sem er í menntun, könnunum eða daglegu lífi. Skýrleiki og nákvæmni í að bera kennsl á hvaða atburðir eiga sameiginleg þætti er lykilatriði til að reikna líkur rétt. Þess vegna mun regluleg æfing og skilningur á grunnhugtökunum hjálpa okkur mjög að ná tökum á þessu efni.
