Dæmi um spurningar sem fjalla um reglur um að fylla í bil
Staðsetningarreglan er grundvallarhugtak í stærðfræði og líkindafræði sem er mjög gagnlegt í mörgum tilfellum. Þessi regla er venjulega notuð í samhengi við að raða hlutum í ákveðna röð eða í mismunandi uppröðun. Í þessari grein munum við ræða nokkur dæmi um vandamál sem fela í sér staðsetningarregluna og veita ítarlegar lausnir fyrir hvert þeirra.
Pendahuluan
Rýmisfylling er algeng aðferð sem notuð er í samsetningarfræði, stærðfræðigrein sem rannsakar uppröðun, samsetningu og val hluta. Ein af grundvallarreglum samsetningarfræðinnar er margföldunarreglan, sem segir að ef nokkur stig eru í ferli og hvert stig hefur ákveðinn fjölda valkosta, þá er hægt að finna heildarfjölda mögulegra uppröðunar með því að margfalda fjölda valkosta í hverju stigi.
Til dæmis, ef við höfum tvö stig þar sem fyrsta stigið hefur \(m\) valkosti og annað stigið hefur \(n\) valkosti, þá er heildarfjöldi mögulegra raðana \(m \times n\).
Við skulum beita þessari hugmynd til að leysa nokkur dæmi um vandamál.
Dæmi 1: Að raða bókum á hillu
Spurning:
Það eru 5 mismunandi bækur og bókahilla með 5 rýmum til að fylla. Á hve marga vegu er hægt að raða bókunum fimm á hilluna?
Umræða:
Í þessu tilfelli þurfum við að raða bókunum fimm í fimm mismunandi rými. Þetta er umröðunarvandamál því röðin er mikilvæg. Við getum notað rýmisfyllingarregluna eða margföldunarregluna til að leysa þetta vandamál.
1. Fyrir fyrsta herbergið höfum við 5 bókavalkosti.
2. Eftir að ein bók hefur verið sett í fyrsta herbergið, þá eru fjórar bókavalkostir eftir fyrir annað herbergið.
3. Fyrir þriðja herbergið höfum við 3 bókavalkosti eftir, og svo framvegis.
Jafnan fyrir heildarfjölda stillinga er:
\[ 5 \sinnum 4 \sinnum 3 \sinnum 2 \sinnum 1 = 5! = 120 \]
Það eru því 120 leiðir til að raða bókunum fimm.
Dæmi 2: Að búa til orð úr mismunandi stöfum
Spurning:
Hversu mörg mismunandi orð er hægt að mynda með öllum stöfunum í orðinu „STÆRÐFRÆÐI“ án þess að endurtaka þau?
Umræða:
Við þurfum fyrst að sjá hversu margir stafir eru í orðinu „STÆRÐFRÆÐI“. Það eru 11 stafir, og sumir þeirra endurtaka sig. Endurteknu stafirnir eru:
– M allt að 2
– Allt að 3
– Allt að 2
– Hinir stafirnir (E, I, K) koma fyrir einu sinni hver.
Við notum permutunarformúluna fyrir endurteknar frumefni, þ.e.:
\[ \frac{n!}{n_1! \sinnum n_2! \sinnum \ldots \sinnum n_k!} \]
þar sem \(n \) er heildarfjöldi staka (bókstafa) og \(n_1, n_2, \ldots, n_k \) er fjöldi endurtekninga hvers staks.
Með orðinu „STÆRÐFRÆÐI“:
[n = 11, n_1 = 2 (M)], n_2 = 3 (A), n_3 = 2 (T), n_4 = 1 (E), n_5 = 1 (I), n_6 = 1 (K)]
Þannig að fjöldi orða sem hægt er að mynda er:
\[ \frac{11!}{2! \sinnum 3! \sinnum 2! \sinnum 1! \sinnum 1! \sinnum 1!} = \frac{39916800}{2 \sinnum 6 \sinnum 2 \sinnum 1 \sinnum 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Það eru 1,663,200 mismunandi orð sem hægt er að mynda.
Dæmi 3: Að ákvarða fjölda samsetninga í Martabak
Spurning:
Martabak-seljandi býður upp á fimm fyllingarmöguleika (ost, súkkulaði, jarðhnetur, banana og rúsínur). Ef viðskiptavinur vill velja þrjár af fimm fyllingum fyrir martabak-ið sitt, hversu margar mismunandi samsetningar getur hann valið?
Umræða:
Þetta er samsetningarvandamál, ekki umröðun, því röðin skiptir ekki máli. Við notum samsetningarformúluna:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
þar sem \(n \) er heildarfjöldi valkosta og \(k \) er fjöldi valkosta sem teknir voru.
Í þessu tilfelli er \(n = 5 \) og \(k = 3 \), þannig að:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Það eru 10 mismunandi samsetningar til að velja úr 3 innihaldsefnum úr 5 valkostum.
Dæmi 4: Þátttakendafyrirkomulag í leik
Spurning:
Það eru 8 þátttakendur í hlaupi. Á hve marga vegu er hægt að raða efstu þremur keppendum?
Umræða:
Þetta er umröðunarvandamál án endurtekningar því staðsetning þýðir að röð skiptir máli. Við notum umröðunarformúluna:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Í þessu tilfelli, þar sem \(n = 8 \) og \(k = 3 \), þá gildir:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Það eru því 336 leiðir til að koma í efstu þrjú sætin af 8 þátttakendum.
Í þessari grein höfum við rætt nokkur dæmi um vandamál og lausnir þeirra með því að nota reglur um bilsfyllingu í ýmsum aðstæðum: allt frá því að raða bókum á hillu til að ákvarða sigurvegara keppni. Að skilja þessi grunnatriði mun gefa þér meira sjálfstraust til að leysa hin ýmsu samsetningar- og líkindavandamál sem þú gætir rekist á.
