Dæmi um spurningar um gagnagreiningu og umræðu um tækifæri
Gagnagreining og líkindafræði eru tvö svið sem oft er að finna í ýmsum fræðigreinum, einkum tölfræði, stærðfræði, hagfræði og markaðsrannsóknum. Í þessari grein munum við skoða nokkur dæmi um vandamál og umræður sem tengjast gagnagreiningu og líkindafræði til að dýpka skilning okkar á þessum grundvallarhugtökum.
1. Gagnagreining: Inngangur og dæmi um spurningar
Gagnagreining er ferlið við að skoða, velja, umbreyta og módelera gögn með það að markmiði að uppgötva gagnlegar upplýsingar, draga ályktanir og styðja ákvarðanatöku. Dæmigert skref eru gagnasöfnun, gagnahreinsun, gagnakönnun (lýsandi tölfræði) og frekari greining.
Dæmispurning 1: Ákvörðun meðaltals og staðalfráviks
Miðað við eftirfarandi gögn varðandi stærðfræðiprófskor 10 nemenda: 78, 82, 85, 88, 90, 75, 91, 74, 89, 86.
Reiknið meðaltal og staðalfrávik gagnanna.
Umræða:
– Meðalgildið er heildargildi allra gagna deilt með fjölda athugana.
\[
Meðaltal = 78 + 82 + 85 + 88 + 90 + 75 + 91 + 74 + 89 + 86 = 838
\]
– Til að reikna staðalfrávikið þurfum við fyrst að reikna dreifnina. Dreifnin er meðaltal ferningsins af mismuninum á milli hvers gagnasafns og meðaltalsins.
\[
Dreifni = (78 - 83.8)^2 + (82 - 83.8)^2 + (85 - 83.8)^2 + ∫ + (86 - 83.8)^2 / 10
\]
Síðan er frávikið reiknað svona:
\[
Dreifni = \frac{33.64 + 3.24 + 1.44 + 17.64 + 38.44 + 75.04 + 50.41 + 94.44 + 26.01 + 4.84}{10} = \frac{345.14}{10} = 34.514
\]
– Staðalfrávik er kvaðratrót dreifnisins.
\[
Staðalfrávik = 34.514 ≈ 5.88
\]
Dæmispurning 2: Gagnagraf
Miðað við íbúafjölda borgar síðustu 5 ár sem hér segir (í þúsundum): 2016: 120, 2017: 125, 2018: 130, 2019: 135, 2020: 140.
Búðu til línurit til að tákna gögnin.
Umræða:
Til að búa til línurit getum við fylgt þessum skrefum:
1. Ákvarðið X- og Y-ásana. X-ásinn er fyrir árin og Y-ásinn er fyrir íbúafjölda.
2. Teiknið punktana út frá gefnum gögnum:
– (2016, 120)
– (2017, 125)
– (2018, 130)
– (2019, 135)
– (2020, 140)
3. Tengdu punktana saman með línum.
Grafið sem myndast mun sýna þróun vaxandi íbúafjölda í þéttbýli frá 2016 til 2020.
2. Líkindafræði: Grunnatriði og dæmi um dæmi
Líkur eða líkur eru mælikvarði á hversu líklegt er að atburður eigi sér stað. Líkur á atburði A eru venjulega tjáðar sem \( P(A) \) og eru reiknaðar sem:
\[
P(A) = \frac{\text{Fjöldi æskilegra atburða}}{\text{Heildarfjöldi mögulegra atburða}}
\]
Dæmispurning 3: Einföld líkindareikningur
Hverjar eru líkurnar á að draga ás úr venjulegum spilastokki?
Umræða:
– Í einu setti af spilakortum eru 52 spil.
– Það eru fjögur ásspil (hjörtu, tíglar, lauf og spaðar).
– Líkur á að draga ás eru:
\[
P(\text{As}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769 \text{ eða } 7.69\%
\]
Dæmispurning 4: Samfelldar tilraunir
Tveir teningar eru kastaðir samtímis. Reiknið út líkurnar á að summa teninganna tveggja sé 7.
Umræða:
– Alls eru 6 × 6 = 36 mögulegar útkomur úr tveimur teningum.
– Samsetningarnar sem gefa samtals 7 eru: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Þannig að það eru 6 tilvik.
– Líkurnar á að summa teninganna tveggja sé 7 eru:
\[
P(\text{Samtals 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \text{ eða } 16.67\%
\]
Dæmispurning 5: Bayes-reglan
Þar sem einn af hverjum 1000 einstaklingum er með sjúkdóminn X, þá er nákvæmni prófs til að greina sjúkdóminn X 99% (hvort sem það er jákvætt eða neikvætt). Ef einstaklingur reynist jákvætt, hverjar eru þá líkurnar á að hann eða hún sé í raun með sjúkdóminn X? Gerum ráð fyrir að prófið sé 95% næmt og 98% sértækt.
Umræða:
Til dæmis:
– P(P) er líkurnar á að einstaklingur fái jákvætt niðurstöðupróf,
– P(D) er líkurnar á að einstaklingur sé með sjúkdóminn,
– P(P|D) er líkurnar á að prófið verði jákvætt ef einstaklingur er með sjúkdóminn,
– P(D|P) er líkurnar á að fá sjúkdóminn ef einstaklingur fær jákvæða niðurstöðu úr niðurstöðuprófi.
Samkvæmt Bayes-setningunni:
\[
P(D|P) = \frac{P(P|D) \cdot P(D)}{P(P)}
\]
Reiknaðu fyrst P(P):
\[
P(P) = P(P|D) ≥ P(D) + P(P|D^c) ≥ P(D^c)
\]
\[
P(P) = 0.95 ⋅ 1/1000 + 0.02 ⋅ 999/1000 \u.þ.b. 0.0211
\]
Nú,
\[
P(D|P) = ≈ 0.95 ≈ 1000 ≈ 0.045 eða 4.5%
\]
Þannig að ef einstaklingur fær jákvæða niðurstöðu úr prófinu, þá eru líkurnar á að hann eða hún sé í raun með sjúkdóminn X um 4.5%.
Niðurstaða
Gagnagreining og líkindagreining eru nauðsynleg verkfæri á ýmsum sviðum eins og rannsóknum, hagfræði og heilbrigðisþjónustu. Með því að skilja hvernig þau virka getum við gert betri spár, tekið betri ákvarðanir og stjórnað áhættu. Með þessum dæmum og umræðum öðlumst við betri skilning á því hvernig hægt er að greina gögn og hvernig hægt er að reikna út líkur á ýmsum atburðum. Við vonum að þessi grein hafi verið gagnleg til að dýpka skilning okkar á gagnagreiningu og líkindagreiningu.
