4 dæmi um spurningar um hjól-hjól tengingu
1. Tvö hjól A og B eru tengd saman með borða (sjá mynd). Ef radíus A er tvöfaldur radíus B, þá gerist það sem gerist...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
Umræða
Það er vitað að:
Radíus hjóls A (rA) = tvöfaldur radíus hjóls B (2 rB)
Spurði:
– Sambandið milli línulegs hraða hjóls A (vA) og línulegs hraða hjóls B (vB)
– Sambandið milli hornhraða hjóls A (ωA) og hornhraða hjóls B (ωA).
Svar:
Hjól A og B eru tengd með límbandi þannig að þegar hjól A snýst, þá snýst hjól B einnig. Ef yfirborð hjóls A hreyfist um 1 metra á 1 sekúndu, þá hreyfist yfirborð hjóls B einnig um 1 metra á 1 sekúndu. Þannig er línulegur hraði hjóls A sá sami og línulegur hraði hjóls B (vA = vB).
Hins vegar, ef hjól B hefur lokið einum snúningi, þá hefur hjól A ekki lokið einum snúningi vegna þess að ummál hjóls B er minna en ummál hjóls A er stærra. Með öðrum orðum, hornhraði hjóls A er ekki sá sami og hornhraði hjóls B. Hvert er sambandið milli hornhraða hjóls A og hornhraða hjóls B?
Hraði hjóls A: vA = rA ωA = 2rB ωA
Hraði hjóls B: vB = rB ωB
Hraði hjóls A er sá sami og hraði hjóls B:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
Rétta svarið er C.
2. Þrjú hjól A, B og C eru tengd saman eins og sýnt er á myndinni. Ef radíus hjólanna A, B og C er 20 cm, 8 cm og 4 cm, og hjól B snýst með hornhraða 10 rad.s-1, þá snýst hjól C með hornhraði jafn stór og…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Umræða
Það er vitað að:
Hjólradíus A (rA) = 20 cm = 0,2 metrar
Radíus hjóls B (rB) = 8 cm = 0,08 metrar
Hjólradíus C (rC) = 4 cm = 0,04 metrar
Hornhraði hjóls B (ωB) = 10 rad/s
Spurning: Hornhraði hjóls C (ωC)
Svar:
Hornhraði og línulegur hraði hjólfelgu A
Hjól A og hjól B eru tengd hvort við annað og snúast því saman. Ef hjól B snýst í hring einn snúning (360°), þá snýst hjól A einnig í hring einn snúning (360°) á sama tíma. Þar sem þau snúast saman er hornhraði hjóls A (ωA) sá sami og hornhraði hjóls B (ωB).
Hornhraði hjóls A:
ωA = ωB = 10 radíanar/sekúndu
Línulegur hraði hjólfelgunnar A:
Stærð línulegs hraða brúnar hjóls A er reiknuð með formúlunni fyrir samband línulegs hraða og hornhraða, v = r ω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Hornhraði og línulegur hraði hjólfelgunnar C
Ummál hjóls A er miklu stærra en ummál hjóls C. Þegar hjól C hefur farið í hring einn hring (360°), þá hefur hjól A ekki enn lokið einum hring (360°) á sama tíma.oÞannig er hornhraði hjóls A ekki sá sami og hornhraði hjóls C.
Hins vegar eru hjólin A og C tengd hvort við annað með reipi eða keðju. Þar sem þau eru tengd saman á sama tíma er vegalengdin sem brún hjóls A ferðast sú sama og vegalengdin sem brún hjóls C ferðast. Þannig er línulegur hraði brúnar hjóls C (vC) sá sami og línulegur hraði brúnar hjóls A (vA).
Línulegur hraði hjólfelgunnar C:
vC = vA = 2 m/s
Hornhraði hjóls C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radíanar/sekúndu = 50 radíanar/s-1.
Rétta svarið er B.
3. Hjólakerfi með radíus RA = 2 cm; RB = 4 cm og RC = 10 cm er tengt eins og sýnt er á myndinni. Hjól B snýst við 60 snúninga á mínútu, þannig að línulegur hraði hjóls C er…
A. 8π cm.s-1
B. 12 cm.s-1
C. 12π cm.s-1
Þvermál 24 cm.-1
E. 24π cm.s-1
Umræða
Það er vitað að:
Hjólradíus A (rA) = 2 cm
Radíus hjóls B (rB) = 4 cm
Hjólradíus C (rC) = 10 cm
Hornhraði hjóls B (ωB) = 60 snúningar/mínútu = 60 snúningar/60 sekúndur = 1 snúningur/sekúnda = 1(2π radíanar)/sekúnda = 2π radíanar/s
Spurning: Línulegur hraði hjóls C (vC)
Svar:
Línulegur hraði hjólfelgunnar B
Línulegur hraði hjólbrúnar B:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Línulegur hraði hjólfelgunnar A
Hjól A og hjól B eru tengd með reipi þannig að línulegur hraði brúnar hjóls A (vA) er sá sami og línulegur hraði brúnar hjóls B (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Línulegur hraði hjólfelgunnar C
Hjól C og hjól A eru tengd með reipi þannig að línulegur hraði brúnar hjóls C (vC) er sá sami og línulegur hraði brúnar hjóls A (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Rétta svarið er A.
4. Íhugaðu eftirfarandi hjólatengsl! Hjólradíusarnir RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm og hjól C snýst með snúningshraða 60 snúninga á mínútu. Hornhraði hjóls A er…
A. 2,5π rad.s-1
B. 3π rad.s-1
C. 3,2π rad.s-1
D. 3,5π rad.s-1
E. 3,8π rad.s-1
Umræða
Það er vitað að:
Hjólradíus A (rA) = 25 cm = 0,25 metrar
Radíus hjóls B (rB) = 15 cm = 0,15 metrar
Hjólradíus C (rC) = 40 cm = 0,4 metrar
Hornhraði hjólsins C (ωC) = 60 snúningar/mínútu = 60 snúningar/60 sekúndur = 1 snúningur/sekúnda = 1(2π radíanar)/sekúnda = 2π radíanar/s
Spurning: Hornhraði hjóls A (ωA)
Svar:
Línulegur hraði hjólfelgunnar C:
vC = rC ωC = (0,4 m)(2π rad/s) = 0,8π m/s
Línulegur hraði hjólfelgunnar B
Hjól C og hjól B eru tengd með reipi þannig að línulegur hraði brúnar hjóls C (vC) er sá sami og línulegur hraði brúnar hjóls B (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Hornhraði og línulegur hraði hjólfelgu A
Hjól A og hjól B eru tengd saman eins og sýnt er á myndinni hér að ofan, þess vegna er hornhraði hjóls A ekki sá sami og hornhraði hjóls B. Þetta er vegna þess að ummál hjóls A er stærra en hjóls B. Á sama tímabili, þegar hjól A hefur hreyfst í hring eina umferð (360o), hjól B hefur ekki enn náð einni snúningi (360o). Hins vegar, á sama tímabili, er vegalengdin sem brún hjóls A ferðast sú sama og vegalengdin sem brún hjóls B ferðast. Þannig að línulegur hraði brúnar hjóls A (vA) er sá sami og línulegur hraði brúnar hjóls B (vB).
Línulegur hraði hjólfelgunnar A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Hornhraði hjóls A
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
Rétta svarið er C.
