Գրավոր ֆունկցիայի ածանցյալների վերաբերյալ հարցերի օրինակներ

Ֆունկցիայի ածանցյալների գրավոր քննարկման օրինակելի հարցեր

Ֆունկցիայի ածանցյալը մաթեմատիկական հաշվարկի հիմնարար հասկացություն է, որը հաճախ օգտագործվում է գիտության տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են ֆիզիկան, տնտեսագիտությունը, կենսաբանությունը և ճարտարագիտությունը: Ֆունկցիայի ածանցյալը չափում է, թե որքան արագ է դրա արժեքը փոխվում անկախ փոփոխականների փոփոխությունների նկատմամբ: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք ֆունկցիայի ածանցյալի գրման հետ կապված մի քանի օրինակելի խնդիրներ՝ բացատրություններով:

Օրինակ՝ հարց 1. Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալ

Հարց՝ Գտեք f(x) = 3x^2 + 5x + 7 ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.
Ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը (f(x)) որոշելու համար մենք օգտագործում ենք դիֆերենցման հիմնական կանոնները, մասնավորապես՝

\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]

Այսպիսով, ֆունկցիայի յուրաքանչյուր անդամի ածանցյալը կարող ենք հաշվարկել հետևյալ կերպ՝

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]

\[
f'(x) = 3 √ 2x^{2-1} + 5 √ 1x^{1-1} + 0
\]

\[
f'(x) = 6x + 5
\]

Այսպիսով, f(x) = 3x^2 + 5x + 7) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը f'(x) = 6x + 5 է։

Օրինակ՝ հարց 2. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ

Հարց՝ Գտեք g(x) = sin(x) + cos(x) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.
Մենք օգտագործում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների հիմնական կանոնները.

\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]

Այսպիսով՝

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]

\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]

Այսպիսով, g(x) = sin(x) + cos(x) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը g'(x) = cos(x) – sin(x) է։

Օրինակ՝ հարց 3. Բազմապատկման ֆունկցիայի ածանցյալ

Հարց՝ Գտեք h(x) = x^2 \sin(x) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.
Երկու ֆունկցիաների արտադրյալ հանդիսացող ֆունկցիաների համար մենք օգտագործում ենք բազմապատկման կանոնը՝

\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

Ենթադրենք՝ u(x) = x^2 և v(x) = sin(x))։ Ապա՝

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]

Օգտագործելով բազմապատկման կանոնը, կարող ենք գրել՝

\[
h'(x) = [x^2]' \sin(x) + x^2 [\sin(x)]'
\]

\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]

Այսպիսով, h(x) = x^2 \sin(x)\) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)\) ֆունկցիան է։

Օրինակ՝ հարց 4. Կոմպոզիցիոն ֆունկցիայի ածանցյալ

Հարց՝ Գտեք k(x) = sin(x^2) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.
Երկու ֆունկցիաների կազմություն կազմող ֆունկցիաների համար մենք օգտագործում ենք շղթայի կանոնը՝

\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]

Ենթադրենք՝ f(u) = sin(u) և u = x^2։ Այնուհետև՝ f'(u) = cos(u) և g'(x) = frac{d}{dx}(x^2) = 2x։

Օգտագործելով շղթայի կանոնը, կարող ենք գրել՝

\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]

Այսպիսով, k(x) = sin(x^2) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը k'(x) = 2x cos(x^2) է։

Օրինակ՝ հարց 5. Ռացիոնալ ֆունկցիաների ածանցյալ

Խնդիր՝ Գտեք m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը։

Քննարկում.
Երկու ֆունկցիաների քանորդ հանդիսացող ֆունկցիաների համար մենք օգտագործում ենք քանորդի կանոնը.

\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]

Ենթադրենք՝ u(x) = 2x և v(x) = x^2 + 1)։ Ապա՝

\[
u'(x) = 2
\]

\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]

Օգտագործելով քանորդի կանոնը, կարող ենք գրել՝

\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

Այսպիսով, m(x) = √√√x^2 + 1) ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը m'(x) = √√√ – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} է։

Եզրակացություն

Այս հոդվածում մենք քննարկել ենք ֆունկցիաների ածանցյալներ պարունակող մի քանի օրինակներ՝ սկսած պարզ ֆունկցիաներից, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից, բազմապատկումից, կազմությունից և ռացիոնալ ֆունկցիաներից: Յուրաքանչյուր օրինակ ցույց է տալիս ածանցյալների կանոնների, ինչպիսիք են հիմնարար կանոնը, շղթայի կանոնը, բազմապատկման կանոնը և քանորդի կանոնը, համապատասխան կիրառումը: Այս կանոնները կիրառելու եղանակը հասկանալը կարևոր է տարբեր առարկաներում ավելի բարդ հաշվարկային խնդիրներ լուծելու համար: Կրկնվող պրակտիկան և մարզումները կօգնեն ամրապնդել ֆունկցիաների տարբերակման ձեր հասկացողությունն ու հմտությունները: