Egzanp kesyon ak diskisyon sou pwopriyete fonksyon derivatif yo
Derivasyon yon fonksyon se yon konsèp fondamantal nan kalkil ki trè itil pou analize konpòtman sèten fonksyon. Nan atik sa a, nou pral diskite plizyè pwoblèm egzanp epi diskite pwopriyete derivasyon yon fonksyon.
Entwodiksyon sou Derivatif Fonksyon yo
Derivasyon yon fonksyon \( f \) eksprime kòm \( f'(x) \). Premye derivasyon yon fonksyon bay to chanjman fonksyon an parapò ak varyab endepandan li. Yon lòt tèm yo itilize souvan se diferansyèl. Si \( y = f(x) \), alò derivasyon \( f \) parapò ak \( x \) se:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Pwopriyete Fonksyon Derivatif yo
Men kèk pwopriyete enpòtan nan derive yon fonksyon:
1. Linearite: Si \( f(x) \) ak \( g(x) \) se fonksyon diferansyab, epi \( c \) se yon konstan, alò:
\[
\frac{d}{dx} [cf(x) + g(x)] = c f'(x) + g'(x)
\]
2. Règ Chèn: Pou fonksyon konpoze \( g(f(x)) \):
\[
\frac{d}{dx} g(f(x)) = g'(f(x)) \cdot f'(x)
\]
3. Pwodui: Pou fonksyon \( u(x) \) ak \( v(x) \):
\[
\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
4. Kosyan : Pou fonksyon \( u(x) \) ak \( v(x) \) kote \( v(x) \neq 0 \):
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
Egzanp Kesyon ak Diskisyon
Egzanp 1: Detèmine Derivatif yon Fonksyon Senp
Ann sipoze \(f(x) = 3x^2 + 5x – 4 \). Detèmine derive fonksyon an.
Solisyon:
Nou pral itilize règ debaz diferansyasyon yo.
\[
f(x) = 3x^2 + 5x – 4
\]
Premye derive:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2) + \frac{d}{dx} (5x) – \frac{d}{dx} (4)
\]
Kalkile chak derive:
\[
\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx} (5x) = 5
\]
\[
\frac{d}{dx} (4) = 0
\]
Konsa:
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Egzanp 2: Itilizasyon Règ Chèn nan
Etandone fonksyon an \(y = (2x^3 – x^2 + 1)^5 \). Detèmine derive fonksyon an.
Solisyon:
Sèvi ak règ chèn lan. Sipoze \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \), alò fonksyon an ka reekri kòm \( y = u^5 \).
Premyèman, jwenn derive \(y \) parapò ak \(u \):
\[
\frac{dy}{du} = 5u^4
\]
Apre sa, jwenn derive \(u\) parapò ak \(x\):
\[
ou = 2x^3 – x^2 + 1
\]
\[
\frac{du}{dx} = 6x^2 – 2x
\]
Konbine de derivasyon yo avèk règ chèn lan:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = 5u^4 \(6x^2 – 2x)
\]
Ranplase ankò \( u = 2x^3 – x^2 + 1 \):
\[
\frac{dy}{dx} = 5(2x^3 – x^2 + 1)^4 \cdot (6x^2 – 2x)
\]
Egzanp 3: Itilizasyon Règ Pwodwi yo
Etandone \( f(x) = x^2 e^x \). Detèmine derive fonksyon an.
Solisyon:
Sèvi ak règ pwodui a, sa vle di, si \( u(x) = x^2 \) ak \( v(x) = e^x \), alò:
\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Premyèman, kalkile derive \( u(x) \) ak \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = e^x \implike v'(x) = e^x
\]
Lè w aplike règ pwodwi yo:
\[
f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x (2x + x^2)
\]
Egzanp 4: Itilizasyon Règ Kosyan an
Etandone \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \). Jwenn derive fonksyon an.
Solisyon:
Sèvi ak règ kosyan an, sètadi si \( u(x) = x^2 + 1 \) ak \( v(x) = x + 2 \), alò:
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Premyèman, kalkile derive \( u(x) \) ak \( v(x) \):
\[
u(x) = x^2 + 1 \implies u'(x) = 2x
\]
\[
v(x) = x + 2 \implies v'(x) = 1
\]
Lè nou aplike règ kosyan an:
\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2) – (x^2 + 1)(1)}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{2x^2 + 4x – x^2 – 1}{(x + 2)^2}
\]
\[
f'(x) = \frac{x^2 + 4x – 1}{(x + 2)^2}
\]
Konklizyon
Nan kalkil, konprann konsèp debaz derivasyon yo ak pwopriyete yo enpòtan anpil pou rezoud divès pwoblèm matematik. Atik sa a rezime plizyè metòd pou derive fonksyon yo lè li demontre itilizasyon règ debaz tankou lineyite, chenn, pwodwi ak kosyan atravè plizyè egzanp ak diskisyon detaye. Lè nou konprann epi pratike derivasyon souvan, nou ka vin pi konpetan nan analize chanjman nan fonksyon nan divès kontèks.
