Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Fonksyon Distribisyon Nòmal la
Distribisyon nòmal la, ke yo rele tou distribisyon Gaussienne, se youn nan distribisyon pwobabilite ki pi fondamantal nan estatistik ak analiz done. Distribisyon sa a karakterize pa yon koub klòch simetrik otou mwayèn nan, kote gaye done yo reflete devyasyon estanda valè ki otou li yo. Distribisyon nòmal la se baz pou anpil konsèp nan estatistik enferansyèl epi li lajman itilize nan divès domèn, tankou ekonomi, sikoloji ak syans sosyal yo.
Nan atik sa a, nou pral diskite sou kèk egzanp pwoblèm ak solisyon yo pou nou ka pi byen konprann fonksyon distribisyon nòmal la.
Konsèp debaz distribisyon nòmal la
Distribisyon nòmal la dekri pa de paramèt prensipal:
1. Mwayèn (μ): Mwayèn ansanm done yo.
2. Devyasyon Estanda (σ): Mezire kijan done yo gaye alantou mwayèn nan.
Fonksyon dansite pwobabilite distribisyon nòmal la se:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Men kèk etap debaz pou rezoud pwoblèm lè w ap itilize distribisyon nòmal la:
1. Detèmine valè Z a: Valè Z a se yon mezi ki montre kijan done yo lwen mwayèn nan nan inite devyasyon estanda epi li kalkile lè l sèvi avèk fòmil sa a:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Itilizasyon tablo Z a: Yo itilize tablo Z a oubyen tablo distribisyon nòmal estanda a pou jwenn pwobabilite oubyen pousantaj done ki anba oubyen anwo yon sèten valè Z.
Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Distribisyon Nòmal
Kesyon 1
Yon klas gen yon nòt mwayèn nan egzamen matematik ki se 70 ak yon devyasyon estanda ki se 10. Si nòt egzamen yo gen yon distribisyon nòmal, ki pousantaj elèv ki te fè plis pase 85?
Diskisyon:
1. Detèmine nòt Z a: Premyèman, kalkile nòt Z a pou X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Gade Tablo Z a: Nou chèche valè pwobabilite pou Z = 1.5 nan tablo Z a. Valè pwobabilite pou Z = 1.5 se 0.9332. Sa vle di ke 93.32% nan valè yo anba Z = 1.5.
3. Kalkile Pousantaj la: Piske nou bezwen pousantaj elèv ki te fè plis pase 85, nou kalkile 1 – 0.9332 = 0.0668.
Kidonk, 6.68% elèv yo te fè plis pase 85.
Kesyon 2
Wotè gason adilt nan yon peyi swiv yon distribisyon nòmal ak yon mwayèn 175 cm ak yon devyasyon estanda 6 cm. Detèmine pousantaj gason ki gen wotè ant 170 cm ak 180 cm.
Diskisyon:
1. Detèmine Z-score a pou 170 cm:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \anviwon -0.83 \]
2. Detèmine Z-score a pou 180 cm:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \anviwon 0.83 \]
3. Gade Tablo Z:
– Pwobabilite pou Z = -0.83 se 0.2033.
– Pwobabilite pou Z = 0.83 se 0.7967.
4. Kalkile Pousantaj:
– Pwobabilite pou yon wotè ant 170 cm ak 180 cm se 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– Kidonk, 59.34% gason gen yon wotè ant 170 cm ak 180 cm.
Kesyon 3
Yon tès QI itilize yon distribisyon nòmal ak yon mwayèn 100 ak yon devyasyon estanda 15. Ki nòt ki tonbe nan 85yèm persentil la?
Diskisyon:
1. Jwenn valè Z pou 85yèm persentil la: Apati tablo Z a oubyen lè w sèvi ak yon kalkilatris, 85yèm persentil la koresponn ak Z = 1.04.
2. Kalkile nòt QI a:
X = Z σ + μ
X = 1.04 fwa 15 + 100
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Kidonk, yon nòt QI ki tonbe nan 85yèm persentil la se anviwon 115.6.
Kesyon 4
Si nou konnen nòt mwayèn rezilta tès kognitif elèv lekòl segondè yo se 65 ak yon devyasyon estanda 12, ki nòt ki nan 25yèm persentil la?
Diskisyon:
1. Jwenn valè Z pou 25yèm persentil la: Apati tablo Z a oubyen lè w sèvi ak yon kalkilatris, Z pou 25yèm persentil la se apeprè -0.674.
2. Kalkile nòt egzamen yo:
X = Z σ + μ
X = -0.674 fwa 12 + 65
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \anviwon 56.912 \]
Kidonk, valè ki nan 25yèm persentil la se anviwon 56.912.
Konklizyon
Distribisyon nòmal la se yon konsèp enpòtan nan estatistik ki pèmèt nou analize ak konprann done yo nan yon pèspektiv pwobabilite. Lè nou itilize apwòch distribisyon nòmal la, nou ka kalkile pousantaj, detèmine valè espesifik ki baze sou persentil, epi konpare done yo ak mwayèn nan.
Rezoud pwoblèm ak distribisyon nòmal la pa sèlman itil pou egzamen ak rechèch akademik, men li gen aplikasyon pratik tou nan anpil domèn reyèl tankou sikoloji, biznis ak syans sosyal. Atravè egzanp ak diskisyon ki anwo yo, nou espere ou pral gen yon pi bon konpreyansyon sou fonksyon distribisyon nòmal la ak kijan pou aplike li nan divès kontèks.
