Cov Txheej Txheem Pov Thawj lej
Kev pov thawj hauv kev lej yog lub hauv paus ntawm qhov kev kawm no. Cov txheej txheem pov thawj yog lub hauv paus rau kev ua kom muaj tseeb ntawm cov lus lej. Txij li cov kev xav yooj yim mus rau cov lus xaus, txhua kauj ruam yuav tsum tau lees tias muaj tseeb. Kev nkag siab txog ntau txoj kev pov thawj tsis yog tsuas yog ua kom muaj zog rau kev txawj ntse xwb tab sis kuj ua rau muaj kev paub txog kev kawm thiab kev siv lej hauv ntau qhov chaw.
Tsab xov xwm no yuav tham txog qee txoj kev pov thawj tseem ceeb hauv kev suav lej, suav nrog kev pov thawj ncaj qha, kev pov thawj tsis ncaj qha (kev sib piv thiab kev tsis sib haum xeeb), kev siv lej, thiab kev pov thawj los ntawm piv txwv tshwj xeeb. Txhua txoj kev muaj kev siv sib txawv, lub zog, thiab qhov tsis muaj zog. Cia peb tshawb nrhiav lawv kom tob dua.
1. Pov thawj ncaj qha
Kev Txhais thiab Piv Txwv
Kev pov thawj ncaj qha yog ib txoj kev uas peb ua pov thawj ib kab lus los ntawm kev qhia tias yog tias cov lus piav qhia (kev xav) muaj tseeb, ces qhov xaus kuj muaj tseeb. Hauv kev pov thawj ncaj qha, peb feem ntau pib nrog yam uas peb paub thiab siv cov kauj ruam kev xav kom mus txog qhov xaus.
Piv txwv:
Ua pov thawj tias yog \(n\) yog tus lej sib npaug, ces \(n^2\) kuj yog tus lej sib npaug.
Pov thawj:
Xav tias \(n\) yog tus lej sib npaug. Tom qab ntawd, raws li lub ntsiab lus ntawm tus lej sib npaug, nws tuaj yeem sau tias \(n = 2k\) rau qee tus lej integer \(k\). Yog li,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Nws yog qhov tseeb tias \(n^2\) tuaj yeem sau ua 2 zaug ntawm tus lej integer (piv txwv li \(2k^2\)). Vim tias qhov yuav tsum tau ua rau tus lej sib npaug yog tias nws tuaj yeem sau ua 2 zaug ntawm tus lej integer, ces \(n^2\) kuj yog tus lej sib npaug.
2. Cov Pov Thawj Tsis Ncaj Qha
Cov pov thawj tsis ncaj qha muaj ob txoj hauv kev tseem ceeb: pov thawj los ntawm kev sib cav thiab pov thawj los ntawm kev tsis sib haum.
a. Pov Thawj ntawm Kev Sib Txawv
Kev Txhais thiab Piv Txwv
Txoj kev no suav nrog kev ua pov thawj cov lus hais "yog tias \(P\), ces \(Q\)" los ntawm kev ua pov thawj qhov tsis sib xws ntawm cov lus: "yog tias tsis yog \(Q\), ces tsis yog \(P\)".
Piv txwv:
Ua pov thawj tias yog \(n^2\) yog khib, ces \(n\) kuj yog khib.
Pov thawj:
Qhov tsis zoo ntawm cov lus no yog: Yog tias \(n\) tsis yog khib (lossis txawm), ces \(n^2\) tsis yog khib (lossis txawm).
Xav tias \(n\) yog tus lej txawm, ces \(n = 2k\) rau tus lej integer \(k\). Yog li,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Qhov no txhais tau tias \(n^2\) yog tus lej sib npaug. Yog li, qhov sib txawv tau ua pov thawj, thiab cov lus thawj kuj tau lees tias muaj tseeb.
b. Pov thawj los ntawm kev sib cav sib ceg
Kev Txhais thiab Piv Txwv
Kev ua pov thawj los ntawm kev tsis sib haum xeeb suav nrog kev xav tias cov lus uas yuav tsum tau ua pov thawj yog qhov tsis muaj tseeb thiab qhia tias qhov kev xav no ua rau muaj kev tsis sib haum xeeb.
Piv txwv:
Ua pov thawj tias \(\sqrt{2}\) yog ib tus lej tsis muaj tseeb.
Pov thawj:
Xav tias, hloov chaw, tias \(\sqrt{2}\) yog tus lej rational. Tom qab ntawd, \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), qhov twg \(a\) thiab \(b\) yog cov lej tseem ceeb (qhov kev rho tawm yog 1), thiab \(b \ne 0\). Yog li, peb tuaj yeem sau:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[ 2b^2 = a^2 \]
Los ntawm kab zauv no, peb pom tias \(a^2\) yog tus lej sib npaug, uas txhais tau tias \(a\) kuj yuav tsum yog tus lej sib npaug. Xav tias \(a = 2k\), peb muaj:
\[ 2b^2 = (2k)^2 \]
\[ 2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
Vim tias \(b^2\) yog tus lej sib npaug, ces \(b\) kuj yuav tsum yog tus lej sib npaug. Qhov no txhais tau tias \(a\) thiab \(b\) yog ob tus lej sib npaug, tsis sib haum nrog qhov kev xav thawj zaug tias \(\frac{a}{b}\) yog nyob rau hauv nws daim ntawv yooj yim tshaj plaws. Yog li ntawd, \(\sqrt{2}\) tsis tuaj yeem yog tus lej rational, thiab yog li ntawd nws yog irrational.
3. Kev Siv lej los qhia
Kev Txhais thiab Piv Txwv
Kev suav lej yog ib txoj kev ua pov thawj uas siv los ua pov thawj cov lus hais uas muaj cov lej tag nrho. Cov txheej txheem muaj ob kauj ruam: lub hauv paus kev suav thiab kauj ruam kev suav.
Piv txwv:
Ua pov thawj tias qhov sib ntxiv ntawm thawj cov lej ntawm cov lej integers \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}).
Pov thawj:
- Lub hauv paus ntawm kev taw qhia:
Rau \(n = 1\),
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
yog lawm.
- Cov Kauj Ruam Qhia:
Xav tias cov lus no muaj tseeb rau tus lej \(k\). Ntawd yog,
\[ 1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Peb yuav tsum ua pov thawj tias nws kuj muaj tseeb rau \(k + 1\). Peb ntxiv \((k + 1)\) rau ob sab ntawm kab zauv:
\[ 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Yog li, cov lus no muaj tseeb rau \(k + 1\). Yog li, los ntawm lub hauv paus ntsiab lus ntawm kev suav lej, cov lus no muaj tseeb rau txhua tus lej zoo \(n\).
4. Pov thawj nrog cov piv txwv tshwj xeeb
Kev Txhais thiab Piv Txwv
Txoj kev no suav nrog kev ua pov thawj los ntawm kev xaiv cov piv txwv tshwj xeeb uas ua tau raws li txhua yam mob uas tau muab rau hauv cov lus thiab qhia tias cov lus ntawd muaj tseeb. Txawm li cas los xij, txoj kev no feem ntau yog siv los ua pov thawj tias cov lus ntawd tsis muaj tseeb.
Piv txwv:
Ua pov thawj tias muaj cov lej uas tsis tuaj yeem qhia tau tias yog qhov sib ntxiv ntawm ob lub squares zoo meej.
Pov thawj:
Sim siv piv txwv \(3\):
Xav tias \(3\) tuaj yeem qhia tau tias yog qhov sib ntxiv ntawm ob lub squares zoo meej, uas yog \(a^2 + b^2 = 3\). Tom qab sim txhua qhov kev sib xyaw ntawm cov lej \(a\) thiab \(b\),
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (ua tsis tau).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (ua tsis tau).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (ua tsis tau).
4. Cov lej tsis zoo los yog cov lej loj dua 2 kuj ua tsis tau.
Qhov no qhia tau hais tias \(3\) tsis tuaj yeem qhia tau tias yog qhov sib ntxiv ntawm ob tus lej square. Yog li, muaj cov lej uas tsis tuaj yeem qhia tau tias yog qhov sib ntxiv ntawm ob tus lej perfect square.
Xaus
Cov pov thawj hauv kev lej xav tau ntau txoj kev thiab cov kauj ruam sib txawv nyob ntawm hom lus uas tau ua pov thawj. Cov pov thawj ncaj qha, cov pov thawj tsis ncaj qha (contrapositive thiab contradiction), kev suav lej, thiab cov piv txwv tshwj xeeb yog qee txoj kev pov thawj tseem ceeb uas siv rau hauv ntau qhov xwm txheej. Kev nkag siab txog cov txheej txheem no yuav ua rau lub hauv paus ntawm kev lej muaj zog thiab pab koj tshawb nrhiav tob dua txog ntau ceg ntawm kev lej.
Nrog kev xyaum thiab kev nkag siab tob, cov txheej txheem pov thawj lej yuav dhau los ua ib lub cuab yeej uas yuav ib txwm npaj siv rau hauv kev daws cov teeb meem lej nyuaj.
