इकाई सदिश घटकों का उपयोग करके क्रॉस गुणन सामग्री
यदि हमें सदिशों के घटक ज्ञात हों तो हम क्रॉस प्रोडक्ट की गणना सीधे कर सकते हैं। यह प्रक्रिया डॉट प्रोडक्ट के समान ही है । सबसे पहले, हम इकाई सदिश i , j और k को गुणा करते हैं । समान इकाई सदिशों के बीच सदिश गुणनफल शून्य होता है।
i x i = j x j = k x k = 0
पूर्वोक्त व्युत्पन्न सदिश गुणन समीकरण का संदर्भ देते हुए (A x B = AB पाप θ) और सदिश गुणन का प्रति-विनिमय गुणधर्म (A x B = - B x A)तब हमें यह प्राप्त होता है:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
अब हम सदिश A और B को उनके घटकों के रूप में व्यक्त करते हैं, उनके गुणनफल को विघटित करते हैं और इकाई सदिशों के गुणनफल का उपयोग करते हैं।
A x ब = (Axi + Ayj + Azk) एक्स (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 सज्जन i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, इसलिए :
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
यदि C = A x B है, तो C के घटक इस प्रकार हैं:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
