इकाई सदिश घटकों का उपयोग करके बिंदु गुणन सामग्री
यदि हमें सदिश A और B के x, y और z घटक (ज्ञात सदिश) ज्ञात हों, तो हम अदिश गुणनफल की गणना सीधे कर सकते हैं।
इस प्रकार से डॉट प्रोडक्ट करने के लिए, हम पहले यूनिट वेक्टर का डॉट प्रोडक्ट करते हैं, उसके बाद हम वेक्टर A और B को उनके घटकों में व्यक्त करते हैं, प्रोडक्ट को विघटित करते हैं और यूनिट वेक्टर के प्रोडक्ट का उपयोग करते हैं।
इकाई सदिश i , j और k एक दूसरे के लंबवत हैं, जिससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं। ऊपर व्युत्पन्न अदिश गुणन समीकरण ( AB = AB cos थीटा ) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
अब हम सदिश A और B को उनके घटकों के रूप में व्यक्त करते हैं, उनके गुणनफल को विघटित करते हैं और इकाई सदिशों के गुणनफल का उपयोग करते हैं।
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 और i . j = i . k = j . k = 0, तो:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + ए जेड बी जेड (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
इस गणना के परिणामों के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि दो सदिशों का अदिश गुणनफल या बिंदु गुणनफल उनके समान घटकों के गुणनफलों का योग होता है।
उदाहरण प्रश्न 1:
बड़ा वेक्टर A सज्जन B क्रमशः 5 और 4 हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। बनने वाला कोण 90° है।oइसे गिनो डॉट उत्पाद दोनों सदिश।
विचार-विमर्श
वेक्टर A और B का डॉट प्रोडक्ट निकालने से पहले, हमें पहले दूसरे वेक्टर के घटकों को जानना होगा।
ए एक्स = (5) कॉस 0 ओ = (5) (1) = 5
ए वाई = (5) पाप 0 ओ = (5) (0) = 0
A z = 0
बी एक्स = (4) क्योंकि 90 ओ = (4) (0) = 0
बी वाई = (4) पाप 90 ओ = (4) (1) = 4
B z = 0
सदिश A के केवल x-अक्ष पर स्थित सदिश घटक हैं और सदिश B के केवल y-अक्ष पर स्थित सदिश घटक हैं। z घटक शून्य है क्योंकि सदिश A और B दोनों xy-अक्ष पर स्थित हैं।
अब हम घटक सदिशों के साथ डॉट प्रोडक्ट समीकरण का उपयोग करके सदिश A और B के बीच डॉट प्रोडक्ट की गणना करते हैं:
ए । बी = एx Bx + AyBy + AzBz
ए . बी = (5) (0) + (0) (4) + 0
ए. बी = 0 + 0 + 0
ए. बी = 0
आइए इसकी तुलना पहले तरीके से करें
AB = AB cos थीटा
AB = (4)(5) cos 90
एबी = (4) (5) (0)
AB = 0
नतीजा वही है।
उदाहरण प्रश्न 2:
बड़ा वेक्टर A सज्जन B नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, क्रमशः 5 और 4 हैं। गणना कीजिए। डॉट उत्पाद दोनों सदिश, यदि बना कोण 30 डिग्री हैo
विचार-विमर्श
वेक्टर A और B का डॉट प्रोडक्ट निकालने से पहले, हमें पहले दूसरे वेक्टर के घटकों को जानना होगा।
z घटक शून्य है क्योंकि सदिश A और B xy तल में स्थित हैं।
अब हम घटक सदिशों के साथ डॉट प्रोडक्ट समीकरण का उपयोग करके सदिश A और B के बीच डॉट प्रोडक्ट की गणना करते हैं:
पहली विधि से तुलना करें।
