सदिश साधारण संख्याएँ नहीं होतीं, इसलिए उन पर साधारण गुणन विधि सीधे लागू नहीं की जा सकती। हमें सदिश गुणन का उपयोग करना होगा। सदिश गुणन दो प्रकार का होता है: बिंदु गुणन और क्रॉस गुणन। बिंदु गुणन को अदिश गुणन भी कहा जाता है क्योंकि इससे एक अदिश राशि प्राप्त होती है। क्रॉस गुणन को सदिश गुणन भी कहा जाता है क्योंकि इससे एक सदिश राशि प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, दो सदिश हैं, अर्थात् A सज्जन Bवैक्टरों का अदिश गुणन A सज्जन B साथ कहा गया एबी केचूंकि इस क्षेत्र में डॉट नोटेशन का उपयोग होता है, इसलिए इस गुणन को कहा जाता है डॉट उत्पाद. सदिश गुणन A सज्जन B साथ कहा गया A एक्सबीक्योंकि यह संकेतन का उपयोग करता है xयदि ऐसा है, तो इस गुणन को क्रॉस गुणन कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, दिए गए वेक्टर को देखते हुए A सज्जन B जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। वैक्टरों के बीच डॉट प्रोडक्ट A सज्जन B लिखा हुआ एबी (A titik B).
वैक्टरों के डॉट प्रोडक्ट को परिभाषित करने के लिए A सज्जन B (एबी), चित्रित वेक्टर A और वैक्टर वाई द्वाराजो एक कोण बनाता है θ. इसके बाद हम सदिश का प्रक्षेपण बनाते हैं। B वेक्टर की दिशा की ओर Aयह प्रक्षेपण सदिश का एक घटक है। B जो सदिश के समानांतर है Aजो कि आकार में समान है B गाड़ी θ.
इस प्रकार, हम परिभाषित करते हैं एबी एक बड़े वेक्टर के रूप में A वेक्टर घटकों से गुणा किया गया B जो इसके समानांतर है Aगणितीय रूप से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
AB गाड़ी θ एक साधारण संख्या (स्केलर) है। इसलिए, डॉट प्रोडक्ट को स्केलर प्रोडक्ट भी कहा जाता है। यदि वैक्टरों के बीच डॉट प्रोडक्ट... A सज्जन B उलट दिया गया बीए इससे पहले कि हम परिभाषित करें बीएसबसे पहले, हम सदिश का प्रक्षेपण बनाते हैं। A वैक्टरों के लिए बी (नीचे दी गई छवि देखें)।
इस छवि के आधार पर, हम परिभाषित कर सकते हैं बीए एक बड़े वेक्टर के रूप में B वेक्टर घटकों से गुणा किया गया A जो इसके समानांतर है Bगणितीय रूप से हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
डॉट उत्पाद परिणाम एबी = AB गाड़ी θ और डॉट प्रोडक्ट का परिणाम बीए = BA गाड़ी θ. क्योंकि AB गाड़ी θ = BA गाड़ी θतो यह लागू होता है एबी = बीए
डॉट मल्टीप्लिकेशन के बारे में कुछ बातें जो आपको जाननी चाहिए:
1. डॉट प्रोडक्ट क्रमविनिमय नियम को संतुष्ट करता है।
एबी = बीए
2. डॉट प्रोडक्ट वितरण नियम को संतुष्ट करता है।
ए. (बी + सी) = AB + AC
3. यदि सदिश A सज्जन B यदि एक दूसरे के लंबवत हों, तो डॉट प्रोडक्ट का परिणाम प्राप्त होता है। एबी = 0
जब वेक्टर A सज्जन B यदि वे एक दूसरे के लंबवत हैं, तो बनने वाला कोण 90 डिग्री होगा।o. कॉस 90o = 0. अतः: एबी = AB गाड़ी teta = AB कॉस 90o = 0. दूसरी ओर, बीए = BA गाड़ी teta = BA कॉस 90o = 0
4. यदि सदिश A और वैक्टर B एक तरफ़ा रास्ता, इसलिए एबी = AB कॉस 0o = AB
जब वेक्टर A सज्जन B यदि समान दिशा में हो, तो बनने वाला कोण 0 होता है।o. Cos 0 = 1. इस प्रकार, एबी = AB गाड़ी teta = AB कॉस 0o = AB। इसके विपरीत बीए = BA गाड़ी teta = BA कॉस 0o = BA
(आपको इससे भ्रमित नहीं होना चाहिए) AB सज्जन BA। बड़ा AB = बड़ा BAउदाहरण के लिए, सदिश का परिमाण। A = 2. सदिश का परिमाण B = 3. फिर एबी = 2.3 = 6; यह इसके समान है बीए = 3.2 = 6।
5. दो सदिशों के एक ही दिशा में होने की एक और शर्त यह है कि यदि ए = बी फिर प्राप्त हुआ ए.ए. = A2 atau बी बी = बी2
6. यदि सदिश A सज्जन B विपरीत दिशा (जब दो सदिश विपरीत दिशाओं में हों तो बनने वाला कोण 180º होता है)फिर गुणन का परिणाम एबी = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
समस्या का उदाहरण:
एक वेक्टर A इसका परिमाण 4 इकाई है और यह एक सदिश है। B एक सदिश में 3 इकाई हैं। यदि दोनों सदिशों द्वारा निर्मित कोण 60º, 90º और 180º हैं, तो उनका डॉट प्रोडक्ट ज्ञात कीजिए।o
विचार-विमर्श
Karena एबी = बीए तो हम उनमें से किसी एक का उपयोग करने का विकल्प चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम उपयोग करते हैं एबी
एबी = AB गाड़ी teta
बेसर A = 4 इकाइयाँ और बड़ी B = 3 इकाइयाँ।
