ʻAno Trapezoidal i nā Integrals
I ka makemakika i hoʻopili ʻia, pinepine mākou e hālāwai me ka pilikia o ka helu ʻana i ka wahi ma lalo o kahi piʻo. Ma ke kumumanaʻo, hiki ke hoʻoponopono ʻia kēia me ka hoʻohana ʻana i nā integrals paʻa. Eia nō naʻe, i ka hana maoli, ʻaʻole hiki ke hoʻohui maʻalahi ʻia nā hana āpau ma ke ʻano analytical. He paʻakikī kekahi mau hana, loaʻa wale ka ʻikepili ma ke ʻano tabular, a i ʻole nele nā match i nā antiderivatives maʻalahi. I nā kūlana e like me kēia, lilo nā ʻano helu i mea nui. ʻO kekahi o nā ʻano helu i ʻike nui ʻia a hoʻohana pinepine ʻia ʻo ia ke kānāwai trapezoidal, kahi ʻenehana hoʻokokoke no nā integrals e puʻunaue ana i ka wahi ma lalo o kahi piʻo i nā ʻano trapezoidal.
Manaʻo Kumu o ka Hoʻohui Paʻa
Ma ke ʻano geometric, hiki ke hoʻomaopopo ʻia ka integral paʻa \(\int_a^bf(x)\,dx\) ʻo ia ka ʻāpana i kaupalena ʻia e ke kūlou \(y=f(x)\), ke axis \(x\), a me nā laina kū pololei \(x=a\) a me \(x=b\). Inā \(f(x)\ge 0\), he ʻāpana maikaʻi ka integral. Inā loaʻa i ka hana nā waiwai maikaʻi ʻole ma kahi manawa kikoʻī, hāʻawi ka integral i kahi "ʻāpana i kau inoa ʻia".
ʻO ka pilikia nui e kū mai ana i ka wā:
1. ʻAʻohe antiderivative o ka hana \(f(x)\) i hiki ke hōʻike ʻia e nā hana mua.
2. ʻIke wale ʻia ka waiwai o \(f(x)\) ma kekahi mau wahi (ʻikepili hoʻokolohua).
3. ʻAʻole pono a hiki ʻole paha ka helu ʻana ma ke ʻano hōʻailona.
ʻO kēia kahi e hoʻohana ʻia ai ke ʻano trapezoidal e hoʻokokoke i ka waiwai hoʻohui ma o ka hoʻohana ʻana i nā waiwai hana ma kekahi mau kiko.
Manaʻo Hana Trapezoidal
Hoʻomaka ke ʻano trapezoidal me kahi manaʻo maʻalahi: e hoʻokokoke i kahi piʻo me kahi laina pololei ma kēlā me kēia subinterval. ʻOiai ke hoʻohana nei ke ʻano huina Riemann i nā ʻaoʻao perpendicular a me ka ʻāpana o kahi huinahā, hoʻohana ke ʻano trapezoidal i ʻelua mau hopena ma ka subinterval a hoʻohui iā lākou me kahi laina pololei. Hoʻokumu ka ʻāpana ma lalo o ka laina pololei i kahi trapezoid, ʻaʻole he huinahā.
Manaʻo mākou e makemake mākou e helu:
\[
ʻO \int_a^bf(x)\,dx
\]
Hoʻokaʻawale mākou i ka wā \([a,b]\) i nā subintervals \(n\) o ka lōʻihi like. ʻO ka lōʻihi o kēlā me kēia subinterval:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Nā helu mahele:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\dots,\;x_n=b
\]
Me nā waiwai hana:
\[
f(x_0), f(x_1), \dots, f(x_n)
\]
Ma kēlā me kēia subinterval \([x_{i-1}, x_i]\), ua hoʻokokoke ʻia ka ʻāpana ma lalo o ke kūlou e ka ʻāpana o ka trapezoid:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
A laila loaʻa ka ʻāpana holoʻokoʻa (hoʻokokoke hoʻohui) ma ka hoʻohui ʻana i nā trapezoids āpau:
\[
\int_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Inā hoʻoponopono ʻia, lilo ke ʻano o ka lula trapezoidal hui:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
E hoʻomaopopo i ke ʻano o ke koina: ua hoʻonui ʻia nā kiko hopena \(x_0\) a me \(x_n\) e 1, ʻoiai ua hoʻonui ʻia nā kiko ma waena e 2.
Laʻana Helu Maʻalahi
Manaʻo mākou e makemake mākou e hoʻokokoke aku:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Ma ke ʻano loiloi, ʻo ka integral ʻo \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Eia nō naʻe, e hoʻohana mākou i ke ʻano trapezoidal me \(n=4\).
1. Ka wā waena \([0,2]\), a laila:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Ka waiwai hana:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
E hoʻohana i ke ʻano trapezoid hui pū ʻia:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
ʻO ka hopena kokoke o 2,75 ua kokoke loa i ka waiwai pololei o 2,6667, me kahi hewa ma kahi o 0,0833.
Hewa ma ke ʻano Trapezoidal
He ʻano hoʻokokoke ke ʻano trapezoidal, ʻo ia hoʻi, aia mau ka ʻokoʻa ma waena o ka waiwai hoʻokokoke a me ka waiwai hoʻohui maoli. Hoʻopili ʻia ka nui o ka hewa e:
1. Helu o nā subintervals \(n\): ʻo ka nui o \(n\), ʻo ka liʻiliʻi o \(h\), a ma ke ʻano laulā, ʻoi aku ka pololei o nā hopena.
2. Ke kūlou ʻana o ka hana: inā kūlou loa ka hana (loaʻa iā ia kahi derivative lua nui), ʻoi aku ka pololei o ke ʻano trapezoidal ma mua o nā ʻano hana kiʻekiʻe.
No nā hana laumania kūpono (loaʻa nā derivatives lua mau), hiki ke hoʻoholo ʻia ka hewa o ke ʻano trapezoidal hui:
\[
E_T = -\frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
no kekahi mau \(\xi\) ma waena o \(a\) a me \(b\). Mai kēia ʻano hana, hiki ke ʻike ʻia ua kūlike ka hewa me \(h^2\). ʻO ia hoʻi, inā e hoʻokaʻawale kākou iā \(h\) i ka hapalua (ʻo ia hoʻi, pālua ka helu o nā subintervals), ua hoʻemi ʻia ka hewa ma kahi o hoʻokahi hapahā.
Nā Pōmaikaʻi o ke ʻAno Trapezoidal
Ua kaulana ke ʻano trapezoidal no kekahi mau kumu:
1. Maʻalahi a wikiwiki hoʻi
He maʻalahi ka helu ʻana, a hiki ke hana lima ʻia no nā hihia liʻiliʻi.
2. Kūpono no ka ʻikepili papa
Inā ʻike wale ʻia ka waiwai o \(f(x)\) ma nā wahi ʻokoʻa (e.g. nā hopena ana), hiki ke hoʻopili pololei ʻia kēia ʻano hana.
3. ʻOi aku ka pololei ma mua o ke ʻano hana huinahā
Ma muli o ka hoʻohana ʻana i ʻelua mau kiko hopena a hoʻokokoke i ka hana me kahi laina pololei, ʻoi aku ka pololei ma mua o ka hoʻokokoke ʻana o ka huinahā no ka helu like o nā māhele.
4. Paʻa no nā noi ʻenekinia he nui
Hiki ke hoʻokokoke ʻia nā pilikia he nui o ka physics a me ke ʻenekinia (e like me ka helu ʻana i ka hana, ka ikehu, ka ʻāpana ʻāpana, ka hoʻokuʻu ʻana, a pēlā aku) me kēia ʻano hana.
Nā Palena o ke ʻAno Trapezoidal
ʻOiai he mea pono, he mau palena ko kēia ʻano hana:
1. ʻAʻole pololei loa no nā hana piʻo kiʻekiʻe
Ma muli o ka hoʻohana wale ʻana i kahi hoʻokokoke linear ma kēlā me kēia subinterval, pono nā hana me nā loli wikiwiki a i ʻole nā piʻo ʻoi i kahi \(n\) nui.
2. ʻAʻole ia he ʻano hana kiʻekiʻe
Nā hewa o ke kauoha o \(h^2\); hiki i nā ʻano hana ʻē aʻe e like me Simpson's ke hāʻawi i nā hewa liʻiliʻi ma luna o ka helu like o nā subintervals (inā lawa ka laumania o ka hana).
3. Pilikia i ke koho ʻana o ka wā ma waena
Inā ākea loa ka wā a liʻiliʻi ʻo \(n\), hiki i nā hopena ke ʻokoʻa nui.
Pani
ʻO ke ʻano hoʻohui trapezoidal kekahi o nā ʻano hana koʻikoʻi loa i ka hoʻohui helu. Ma ka puʻunaue ʻana i kahi wā i nā ʻāpana liʻiliʻi a me ke pani ʻana i ka piʻo me kahi laina pololei ma kēlā me kēia ʻāpana, hiki iā mākou ke hoʻokokoke i ka integral me ka ʻole o ka loaʻa ʻana o ka antiderivative ma ke ʻano analytical. He maʻalahi ke ʻano hana, maʻalahi e hoʻokō, a he mea pono loa ia i ka wā e discrete ai ka ʻikepili a paʻakikī paha ka hana e hoʻohui.
Eia nō naʻe, pono nā mea hoʻohana o ke ʻano trapezoidal e hoʻolohe i ka helu o nā subintervals a me ke ʻano o ka hana i hoʻohui ʻia. No nā hana piʻo kiʻekiʻe a i ʻole ke koi ʻia ka pololei kiʻekiʻe, hiki ke hoʻohana ʻia ke ʻano trapezoidal ma ka hoʻonui ʻana i ka \(n\), a i ʻole nā ʻano helu ʻē aʻe e like me nā ʻano hana a Simpson a i ʻole Romberg hiki ke noʻonoʻo ʻia. Me ka hoʻomaopopo maikaʻi ʻana, lilo ke ʻano trapezoidal i mea hana pono a kūpono hoʻi no ka hoʻoponopono ʻana i nā pilikia hoʻohui like ʻole i ka ʻepekema, ʻenekinia, a me ka hoʻokele waiwai.
