He aha ka Hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa?
He kumuhana koʻikoʻi nā hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa (PDE) i ka makemakika i hoʻopili ʻia, i hoʻohana nui ʻia e hoʻohālike i nā hanana kūlohelohe like ʻole a me nā kaʻina hana ʻenekinia. Inā makemake mākou e hoʻomaopopo pehea e laha ai ka mahana ma o kahi mea, pehea e laha ai nā nalu ma ke kaula, a pehea e kahe ai nā wai i loko o kahi paipu, e hālāwai paha mākou me nā hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa. Kūkākūkā kēia ʻatikala i kā lākou wehewehe ʻana, ke ʻano maʻamau, nā ʻano, nā laʻana, a me nā hoʻohana maoli.
Ke Hoʻomaopopo ʻana i nā Hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa
I ka ʻōlelo maʻalahi, ʻo ka hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa he hoʻohālikelike e pili ana i ka derivative o kahi hana e pili ana i nā loli kūʻokoʻa he nui. ʻAʻole e like me nā hoʻohālikelike ʻokoʻa maʻamau (ODEs), e pili ana i nā derivatives e pili ana i hoʻokahi wale nō loli (no ka laʻana, ka manawa), kū mai kahi PDI ke hilinaʻi kahi mokuʻāina i ʻelua a ʻoi aku paha nā loli, e like me ka hakahaka a me ka manawa, i ka manawa like.
Eia kekahi laʻana, ke manaʻo nei he hana mahana kā mākou \(u(x,t)\) ma luna o ke koʻokoʻo hao: loli ka mahana e pili ana i ke kūlana \(x\) a me ka manawa \(t\). Inā makemake mākou e wehewehe i ka pilina o ka loli o ka mahana e pili ana i ka hakahaka a me ka manawa, e hoʻohana mākou i nā derivatives hapa e like me:
\[
\frac{\partial u}{\partial t}, \quad \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
Ma muli o ka pili ʻana i nā derivatives hapa, ua kapa ʻia kēia kaulike he "partial differential".
No ke aha he mea pono ai nā Derivatives hapa?
Hoʻohana ʻia nā derivatives hapa i ka wā e hilinaʻi ai kahi hana ma luna o nā loli he nui, a makemake mākou e ʻike i ka wikiwiki o ka loli o ka hana e pili ana i kekahi o nā loli ʻoiai e paʻa ana i nā loli ʻē aʻe. No ka laʻana, ma \(u(x,y)\), ʻo ka derivative hapa e pili ana iā \(x\) e hōʻike ana i ka loli ma \(u\) i ka wā e loli ai \(x\), akā mau nō ʻo \(y\).
Ma ke ʻano o ka physics a me ka ʻenekinia, he mea koʻikoʻi kēia no ka mea ua hoʻopilikia ʻia nā ʻōnaehana honua maoli he nui e nā kumu he nui i ka manawa like. Pili ka laha ʻana o ka wela i ke kūlana a me ka manawa; pili ka dynamics wai i ʻekolu mau hoʻonohonoho o ka lewa a me ka manawa; a pili nā kahua uila a me nā kahua magnetic i ka lewa a me ka manawa.
ʻAno Laulā o nā Hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa
ʻOkoʻa loa ke ʻano o ka PDP, akā ma ke ʻano laulā hiki ke kākau ʻia penei:
\[
F\left(x_1, x_2, \dots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial u}{\partial x_n},
\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}, \dots \right)=0
\]
Maanei, ʻo \(u\) ka hana i ʻike ʻole ʻia (ka hana e hoʻoponopono ʻia), ʻoiai ʻo \(x_1, x_2, \dots, x_n\) nā loli kūʻokoʻa (e.g., ka hakahaka a me ka manawa). Hiki i ka hoohalike ke pili i nā derivatives hapa mua, lua, a i ʻole ke kiʻekiʻe.
Eia kekahi, hiki ke puʻunaue ʻia ka PDP i:
– Linear: inā ʻike ʻia ʻo \(u\) a me kāna mau derivatives ma ke ʻano linear (ʻaʻole i hoʻokiʻekiʻe ʻia i nā mana, ʻaʻole i hoʻonui ʻia e nā derivatives ʻē aʻe, a ʻaʻole komo i nā hana non-linear).
– ʻAʻole linear: inā he mau mea ʻaʻole linear e like me \((\partial u/\partial x)^2\), \(u^2\), a i ʻole \(\sin(u)\).
He mea nui kēia linearity no ka mea ʻoi aku ka maʻalahi o ka kālailai ʻana i nā PDP linear a he mau ʻano hana hoʻonā i hoʻokumu ʻia.
Ka Papa o nā Hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa
Hoʻoholo ʻia ke kauoha o ka PDP e ka derivative hapa kiʻekiʻe loa e kū mai ana ma ka hoohalike.
– Kauoha mua: aia wale nō ka derivative hapa mua, no ka laʻana:
\[
\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x}=0
\]
– Kauoha ʻelua: aia ka lua o ka derivative hapa, no ka laʻana:
\[
\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
He nui nā hoʻohālikelike physics koʻikoʻi he mau PDE kauoha lua.
ʻEkolu mau papa maʻamau o nā PDP: Elliptic, Parabolic, a me Hyperbolic
Ma nā PDP linear kauoha lua, aia nā hoʻokaʻawale kaulana loa, ʻo ia hoʻi ka elliptic, parabolic, a me ka hyperbolic. Hoʻopilikia kēia mau hoʻokaʻawale i ke ʻano o nā hopena a me nā ʻano hana e hoʻoponopono ai iā lākou.
1. ʻEliptika
ʻO ka laʻana kaulana loa ʻo ia ka hoʻohālikelike a Laplace:
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
\]
Hoʻomaka pinepine ʻia nā PDP elliptic i nā kūlana "paʻa" a kaulike paha, no ka laʻana ka hoʻolaha ʻana o ka mana uila i ka lewa me ka ʻole o ka loli ʻana i ka manawa.
2. Parabolic
ʻO ka laʻana nui ka hoʻohālikelike wela:
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
Hōʻike ka parabolic PDP i ke kaʻina hana o ka hoʻolaha ʻana a i ʻole ka laha ʻana, e like me ka wela, nā kemika, a i ʻole nā hui kanaka.
3. Hyperbolic
ʻO ka laʻana kaulana loa ka hoʻohālikelike nalu:
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
\]
Hoʻohālike ka PDP Hyperbolic i ka laha ʻana o nā nalu, e like me nā nalu ma ke kaula, ke kani, a i ʻole nā nalu electromagnetic.
Nā Laʻana o nā Kaulike ʻokoʻa hapa ma ke ola maoli
I mea e ʻoi aku ai ka pono, eia kekahi mau laʻana o nā polokalamu PDP i loaʻa pinepine ʻia:
1. Ka hoʻolaha ʻana o ka wela i loko o nā mea hana
Hoʻohana nā ʻenekinia i nā hoʻohālikelike wela e wānana pehea e laha ai ka mahana ma o nā mīkini, nā ʻāpana uila, a i ʻole nā mea kūkulu hale. He mea koʻikoʻi kēia no ka hoʻolālā hoʻoluʻu a me ka pale ʻana i ka pōʻino mai ka wela nui ʻana.
2. Nā nalu a me nā haʻalulu
Hoʻohana ʻia nā kaulike nalu i ka ʻenekinia kīwila (e.g., ka nānā ʻana i ka haʻalulu o ke alahaka), acoustics (ka hoʻolaha ʻana o ke kani), a me ka seismology (nā nalu ōlaʻi).
3. Nā wai a me ke aniau
Hoʻokomo ka hoʻohālike ʻana o ke kahe wai i nā ʻōnaehana PDP paʻakikī e like me nā kaulike Navier-Stokes. Hilinaʻi nui nā wānana o ke aniau, nā au moana, a me ka haunaele ea i nā ʻano hana i kēia mau kaulike.
4. Kālā helu
Ma ka makemakika kālā, ʻo ka hoʻohālikelike Black-Scholes no ke kumukūʻai koho he PDP e pili ana i ka manawa, ke kumukūʻai waiwai, ka volatility, a me nā mea ʻē aʻe.
5. ʻO ka biology a me ka lāʻau lapaʻau
Hiki ke hoʻohālikelike ʻia ka laha ʻana o ka maʻi, ka ulu ʻana o ka puʻupuʻu, a me ka laha ʻana o ka lāʻau lapaʻau i loko o nā ʻiʻo me nā PDP hoʻolaha-reaksi.
Ke hoʻopau nei i ka PDP: Nā Kūlana Mua a me nā Kūlana Palena
ʻAʻole e like me nā kaulike algebra maʻamau, hiki ke loaʻa kahi hopena hoʻokahi, loaʻa pinepine i nā PDE nā hopena he nui. No ka loaʻa ʻana o kahi hopena e kūpono i ke kūlana o ke ao maoli, pono mākou i kēia mau mea:
– Kūlana mua: ka waiwai o ka hana i ka manawa mua, no ka laʻana \(u(x,0)=f(x)\).
– Kūlana palena: ke ʻano o kahi hana ma ka palena o kahi hakahaka, no ka laʻana \(u(0,t)=0\) a i ʻole \(\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)=0\).
ʻO kahi laʻana maʻalahi: no kahi koʻokoʻo lōʻihi \(0 \le x \le L\), hiki iā mākou ke loaʻa kahi mahana mua a mālama ʻia nā wēlau o ke koʻokoʻo i kahi mahana mau. ʻO ka hui pū ʻana o ka hoʻohālikelike wela + nā kūlana mua + nā kūlana palena e hana i kahi pilikia piha.
Nā Hana no ka Hoʻoponopono ʻana i nā Hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa
ʻAʻole nā PDP āpau i loaʻa kahi hopena "palapala pani" hiki ke kākau maʻalahi ʻia. Ma keʻano laulā, aia kekahi mau ʻano hana:
1. Ke ʻano loiloi
Eia kekahi laʻana, ka hoʻokaʻawale ʻana o nā loli, ka hoʻololi Fourier, ka hoʻololi Laplace, a me ke ʻano hana (no ke kauoha mua).
2. Nā ʻano hana helu
Inā paʻakikī a hiki ʻole paha nā hoʻonā loiloi, hoʻohana ʻia nā ʻano hana helu, e like me ka ʻokoʻa palena, nā mea palena, a me nā ʻano hana leo palena. He mea nui loa nā ʻano hana helu i ka ʻenekinia hou a me nā hoʻohālikelike ʻepekema.
3. Ke ʻano hana kūpono
I kekahi manawa, ʻo ka mea i ʻimi ʻia ʻaʻole ia ke ʻano maopopo o ka hopena, akā, ʻo kona mau waiwai: inā paʻa ka hopena, inā he mau nalu haʻalulu, inā he laumania ka hopena a i ʻole he mau ʻano ʻē, a pēlā aku.
Ka hopena
He mau mea hana makemakika ikaika nā hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa (PDE) no ka wehewehe ʻana i nā loli i nā ʻōnaehana e hilinaʻi nei i nā loli he nui, ʻoiai ka wahi a me ka manawa. Hiki ke hoʻohana ʻia nā hoʻohālikelike ʻokoʻa hapa (PDE) e hoʻohālike i ka wela, nā nalu, ke kahe ʻana o ka wai, nā kaʻina hana hoʻolaha, a me nā dinamika o nā ʻōnaehana hoʻokele waiwai a me nā ʻōnaehana olaola. ʻOiai he paʻakikī a paʻakikī pinepine, he kumu koʻikoʻi nā PDE no ka ʻepekema hou, ka ʻenekinia, a me ka ʻenehana, ʻoiai ʻo ka nui o nā hanana o ka honua maoli e wehewehe maikaʻi ʻia ma o ka pilina ma waena o nā loli i ka wahi a me ka manawa.
Inā makemake ʻoe, hiki iaʻu ke hoʻohui i nā laʻana maʻalahi o nā pilikia PDP me kā lākou mau ʻanuʻu hoʻonā (e laʻa, nā hoʻohālikelike wela 1D me nā kūlana palena kikoʻī), a i ʻole e hana i kahi mana kaulana o ka ʻatikala no ka poʻe heluhelu kula kiʻekiʻe.
