જડત્વની ક્ષણ

1. કણની જડતાની ક્ષણ

ફરતા કણની સમીક્ષા કરો. m દળ ધરાવતા કણને બળ F આપવામાં આવે છે જેથી કણ O અક્ષની આસપાસ ફરે. કણ પરિભ્રમણની અક્ષથી r દૂર હોય છે. પ્રથમ, કણ સ્થિર હોય છે (v = 0). F બળ દ્વારા ગતિ કર્યા પછી, કણો ચોક્કસ ગતિએ ગતિ કરે છે જેથી કણોને સ્પર્શક પ્રવેગ મળે. બળ (F), દળ (m) અને કણોના સ્પર્શક પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ 3 દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

F = મા _તન (સમીકરણ 3)

કણો ફરે છે જેથી કણોમાં કોણીય પ્રવેગ હોય. સ્પર્શક પ્રવેગ અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ 4 દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

a _ટેન = r α (સમીકરણ 4)

સમીકરણ 3 માં a ને સમીકરણ 4 માં a સાથે બદલો:

એફ = શ્રી α

આર એફ = શ્રી ² α

τ = (mr ² ) α (સમીકરણ 5)

r F એ બળનો ક્ષણ છે અને mr ² એ કણનો જડત્વનો ક્ષણ છે. સમીકરણ 5 એ બળનો ક્ષણ, જડત્વનો ક્ષણ અને ફરતા કણોના કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. સમીકરણ 5 એ ફરતા કણો માટેના ન્યૂટનના બીજા નિયમનું સમીકરણ છે.

કણના જડત્વનો ક્ષણ એ કણના દળ (m) અને પરિભ્રમણની ધરી (r ² ) સાથેના કણો વચ્ચેના અંતરના વર્ગનો ગુણાકાર છે .

I = શ્રી ² (સમીકરણ 6)

I = કણની જડતાની ક્ષણ, m = કણનું દળ, r = કણ અને પરિભ્રમણની ધરી વચ્ચેનું અંતર. સમીકરણ 6 નો ઉપયોગ કણની જડતાની ક્ષણ નક્કી કરવા માટે થાય છે.

૩.૨ કણના જડત્વના ક્ષણના નમૂના પ્રશ્નો

નમૂના સમસ્યા ૧.

2 કિલો વજન ધરાવતા કણને 0.5 મીટર લાંબા દોરડા સાથે બાંધવામાં આવ્યું અને પછી તેને ફેરવવામાં આવ્યું. ફરતી વખતે કણોની જડતાની ક્ષણ કેટલી હોય છે?

ઉકેલ:

હું = શ્રી ²

I = (2 કિલો) (0.5 મીટર) ²

હું = 0.5 કિગ્રા મીટર ²

નમૂના સમસ્યા ૧.

બે કણો, દરેકનું દળ 2 કિલો અને 4 કિલો છે, એક હળવા વાયર દ્વારા જોડાયેલા છે, જ્યાં વાયરની લંબાઈ 2 મીટર છે. વાયરના દળને અવગણો. બે કણોની જડતાની ક્ષણ નક્કી કરો, જો:

a) પરિભ્રમણની ધરી બે કણો વચ્ચે સ્થિત છે

ઉકેલ:

હું = મીટર ₁ ર ₁ ² + મીટર ₂ ર ₂ ²

હું = (2)(12) + (4)(12)

હું = 2 + 4

હું = 6 કિગ્રા મીટર ²

b) પરિભ્રમણનો અક્ષ 2 કિલોગ્રામ દળ ધરાવતા કણથી 0.5 મીટરના અંતરે છે.

હું = મીટર ₁ ર ₁ ² + મીટર ₂ ર ₂ ²

હું = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

હું = (2)(0.25) + (4)(2.25)

હું = 0.5 + 9

હું = 9.5 કિગ્રા મીટર ²

c) પરિભ્રમણની ધરી 4 કિલોગ્રામ દળવાળા કણથી 0.5 મીટરના અંતરે છે.

હું = મીટર ₁ ર ₁ ² + મીટર ₂ ર ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

હું = (2)(2.25) + (4)(0.25)

હું = 4.5 + 1

હું = 5.5 કિગ્રા મીટર ²

ઉપરોક્ત ગણતરીઓના પરિણામોના આધારે, જડતાની ક્ષણ પરિભ્રમણની ધરીના સ્થાનથી ખૂબ પ્રભાવિત થાય છે. પરિભ્રમણની ધરીનું સ્થાન અલગ હોવાને કારણે આકાર અને કદ સમાન હોવા છતાં, જડતાની ક્ષણ પણ અલગ છે.

પરિભ્રમણ ધરીની નજીક રહેલા કણોમાં જડત્વનો ક્ષણ ઓછો હોય છે, જ્યારે પરિભ્રમણ ધરીથી દૂર રહેલા કણોમાં જડત્વનો ક્ષણ વધારે હોય છે. જો આપણે ધારીએ કે ઉપરોક્ત બે કણો કઠોર પદાર્થો છે, તો દરેક કણ પરિભ્રમણ ધરીની નજીક છે.

પરિભ્રમણ ધરીથી દૂર રહેલા કણના જડત્વના ક્ષણ કરતાં તેની જડત્વની ક્ષણ ઓછી હોય છે.

૩.૩ એક સમાન કઠોર શરીરના જડત્વનો ક્ષણ

કઠોર પદાર્થો ઘણા કણોથી બનેલા હોય છે. કઠોર પદાર્થોના જડત્વનો ક્ષણ એ દરેક કણના જડત્વના ક્ષણોની કુલ સંખ્યા છે જે પદાર્થનું નિર્માણ કરે છે.

હું = Σ મિસ્ટર ²

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂² + મી₃ r₃² + ….. + મી_n r_n²

કઠોર પદાર્થના જડત્વના ક્ષણને નક્કી કરવા માટે, આપણે પદાર્થના પરિભ્રમણની સમીક્ષા કરવાની જરૂર છે કારણ કે પરિભ્રમણના અક્ષનું સ્થાન પદાર્થના જડત્વના ક્ષણને અસર કરે છે. દરેક કણનો જડત્વનો ક્ષણ (I) કણના દળ (m) અને પરિભ્રમણના અક્ષથી કણના અંતર (r ² ) ના વર્ગ પર પણ આધાર રાખે છે. પદાર્થનું નિર્માણ કરતા બધા કણોનું દળ એ પદાર્થનું દળ છે.

સમસ્યા એ છે કે, પરિભ્રમણની ધરીથી દરેક કણનું અંતર બદલાય છે.

આંગળીઓ R અને દળ M વડે પાતળા રિંગના જડતાના ક્ષણના સૂત્રમાં ઘટાડાની સમીક્ષા કરો.

જો પરિભ્રમણની અક્ષ રિંગના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય, તો પાતળા રિંગના બધા કણો પરિભ્રમણની અક્ષથી સ્થિત હોય છે. પાતળા રિંગની જડતાની ક્ષણ બધા કણોની જડતાની ક્ષણ જેટલી હોય છે:

હું = Σ શ્રી²

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂² + મી₃ r₃² + ….. + મી_n r_n²

બધા કણોનું દળ = પાતળા રિંગનું દળ (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ..... + r _n ² )

પાતળા રિંગનો દરેક કણ પરિભ્રમણ અક્ષથી r છે જેથી r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

પાતળા રિંગના જડતાના ક્ષણનું સમીકરણ:

હું = એમઆર ²

I = પાતળા રિંગનો જડતાનો ક્ષણ, M = પાતળા રિંગનો દળ, R = પાતળા રિંગનો ત્રિજ્યા.

જો પરિભ્રમણની અક્ષ રિંગના કેન્દ્રમાં સ્થિત ન હોય તો શું? જો પરિભ્રમણની અક્ષ રિંગના કેન્દ્રમાં સ્થિત ન હોય, તો ઉપરોક્ત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પાતળા રિંગના જડત્વના ક્ષણ સૂત્ર મેળવી શકાતા નથી,

કારણ કે પરિભ્રમણની ધરીથી દરેક કણનું અંતર અલગ અલગ હોય છે. આ વિષયમાં આવી સમસ્યા માટે જડતાની ક્ષણનું સૂત્ર કેવી રીતે શોધવું તેની ચર્ચા કરવામાં આવી નથી.

કેટલાક કઠોર પદાર્થો માટે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર

૩.૪ એકરૂપ કઠોર શરીરના જડતાના ક્ષણની નમૂના સમસ્યા

નમૂના સમસ્યા ૧:

રોડ સિલિન્ડર AB ને B માં ફેરવવામાં આવે ત્યારે તેનું દળ 3 કિલો હોય છે,

જડતાનો ક્ષણ 27 kg m ² છે . જો જડતાનો ક્ષણ શું છે

C દ્વારા ફેરવાય છે?

ઉકેલ:

ઉકેલ:

સજાતીય ઘન સળિયા માટે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર (પરિભ્રમણની ધરી સળિયાના કેન્દ્રમાં હોય છે):

હું = 1/12 એમએલ ²

૨૭ = (૧/૧૨) એમએલ ^૨

(27)(12) = ML ²

૩૨૪ = એમએલ ^૨

સજાતીય ઘન સળિયા (સળિયાની ધાર પર પરિભ્રમણની ધરી) ની જડતાની ક્ષણનું સૂત્ર:

હું = 1/3 એમએલ ²

હું = ૧/૨ (૦.૨)

હું = 108 કિગ્રા મીટર ²