જડતાના ક્ષણ કણો અને કઠોર પદાર્થો - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

કણની જડતાની ક્ષણ

૧. ૧૦૦ ગ્રામનો એક દડો જે ૩૦ સે.મી. લાંબી દોરીના એક છેડા સાથે જોડાયેલ છે. પરિભ્રમણ AB ની ધરીની આસપાસ બોલનો જડતાનો ક્ષણ કેટલો છે? દોરીના દળને અવગણો.

જાણીતા:

AB પર પરિભ્રમણની ધરી

માસ બોલ (મી) = 100 ગ્રામ = 100/1000 = 0.1 કિગ્રા

બોલ અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r) વચ્ચેનું અંતર = 30 સેમી = 0.3 મીટર

ઇચ્છિત: બોલની જડતાની ક્ષણ (I)

ઉકેલો:

હું = શ્રી.² = (0.1 કિગ્રા)(0.3 મીટર)²

I = (0.1 કિગ્રા)(0.09 મીટર²)

હું = 0.009 કિલોગ્રામ મીટર²

૨. ૧૦૦ ગ્રામનો બોલ, m₁, અને 200 ગ્રામનો બોલ, m₂, 60 સે.મી. લંબાઈવાળા સળિયા દ્વારા જોડાયેલ. સળિયાના દળને અવગણવામાં આવે છે. પરિભ્રમણની અક્ષ સળિયાના કેન્દ્રમાં સ્થિત છે. પરિભ્રમણની અક્ષની આસપાસ બોલની જડતાની ક્ષણ કેટલી છે?

જાણીતા:

બોલનું દળ ૧ (મી₁) = ૧૦૦ ગ્રામ = ૧૦૦/૧૦૦૦ = ૦.૧ કિગ્રા

બોલ 1 અને પરિભ્રમણની અક્ષનું અંતર (r₁) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

બોલનું દળ (મી₂) = 200 ગ્રામ = 200/1000 = 0.2 કિગ્રા

આ અંતર બોલ 2 અને પરિભ્રમણની અક્ષ (r₂) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

જોઈતું હતું: બોલની જડતાની ક્ષણ

જવાબ :

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂²

હું = (0.1 કિગ્રા)(0.3 મીટર)² + (0.2 કિલો)(0.3 મીટર)²

હું = (0.1 કિગ્રા)(0.09 એમ²) + (0.2 કિલો)(0.09 એમ²)

હું = ૮ કિલો મીટર² + ૮ કિલો મીટર²

હું = ૮ કિલો મીટર²

૨. ૧૦૦ ગ્રામનો બોલ, m₁ અને ૧૦૦ ગ્રામનો બોલ, m_2, 60 સે.મી. લંબાઈવાળા સળિયા દ્વારા જોડાયેલ. સળિયાના દળને અવગણો. પરિભ્રમણની અક્ષ બોલ પર સ્થિત છે m₂. દડાઓની જડતાનો ક્ષણ શું છે. સળિયાના દળને અવગણો.

જાણીતા:

બોલનું દળ ૧ (મી₁) = 2૧૦૦ ગ્રામ = ૧૦૦/૧૦૦૦ = ૦.૧ કિગ્રા

બોલ 1 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₁) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

બોલનું દળ ૧ (મી₂) = 100 ગ્રામ = 100/1000 = 0.1 કિગ્રા

બોલ 2 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₂) = 0 મી

જોઈતું હતું: બોલની જડતાની ક્ષણ

ઉકેલો:

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂²

હું = (0.2 કિગ્રા)(0,6 મીટર)² + (0.2 કિગ્રા)(0)²

હું = (0.2 કિગ્રા)(0.36 એમ²) + 0

હું = 0.072 કિલોગ્રામ મીટર²

4. દરેક બોલનું દળ 100 ગ્રામ છે, જે દોરી દ્વારા જોડાયેલ છે. દોરીની લંબાઈ 60 સેમી અને દોરીની પહોળાઈ 30 સેમી છે. પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ બોલનો જડતાનો ક્ષણ કેટલો છે. દોરીના દળને અવગણો.

જાણીતા:

બોલનું દળ = મીટર₁ = મી₂ = મી₃ = મી₄ = 1૧૦૦ ગ્રામ = ૧૦૦/૧૦૦૦ = ૦.૧ કિગ્રા

બોલ અને પરિભ્રમણની ધરી વચ્ચેનું અંતર (r₁) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

બોલ 2 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₂) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

બોલ 3 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₃) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

બોલ 4 અને પરિભ્રમણ અક્ષ વચ્ચેનું અંતર (r₄) = ૩૦ સેમી = ૩૦/૧૦૦ = ૦.૩ મીટર

જાણીતા: જડત્વની ક્ષણ

ઉકેલો:

હું = મી₁ r₁² + મી₂ r₂² + મી₃ r₃² + મી₄ r₄²

હું = (0.1 કિગ્રા)(0.3 મીટર)² + (0.1 કિલો)(0.3 મીટર)² + (0.1 કિગ્રા)(0.3 મીટર)² + (0.1 કિગ્રા)(0.3 મીટર)²

હું = (0.1 કિગ્રા)(0.09 એમ²) + (0.1 કિગ્રા)(0.09 મીટર²) + (0.1 કિગ્રા)(0.09 મીટર²) + (0.1 કિગ્રા)(0.09 મીટર²)

હું = 0.036 કિલોગ્રામ મીટર²

કઠોર પદાર્થની જડતાની ક્ષણ

5. 2 મીટર લંબાઈવાળા 2 કિલોગ્રામ લાંબા એકસમાન સળિયાનો જડત્વનો ક્ષણ કેટલો છે? પરિભ્રમણનો અક્ષ સળિયાના કેન્દ્રમાં સ્થિત છે.

જાણીતા:

સળિયાનું દળ (M) = 2 કિલો

સળિયાની લંબાઈ (L) = 2 મીટર

ઇચ્છિત: જડત્વની ક્ષણ

ઉકેલો:

જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ લાંબા સમાન સળિયાના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય ત્યારે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર:

I = (1/12) ML²

I = (1/12) (2 કિલો)(2 મીટર)²

I = (1/12) (2 કિલો)(4 મીટર²)

I = (1/12)(8 કિલોગ્રામ મીટર²)

હું = 8/12 કિલોગ્રામ મીટર²

હું = 2/3 કિલોગ્રામ મીટર²

6. 2 મીટર લંબાઈવાળા 2 કિલોગ્રામ લાંબા એકસમાન સળિયાનો જડત્વનો ક્ષણ કેટલો હોય છે? પરિભ્રમણનો અક્ષ સળિયાના એક છેડે સ્થિત છે.

જાણીતા:

સળિયાનું દળ (M) = 2 કિલો

કઠોર સળિયાની લંબાઈ (L) = 2 મીટર

ઇચ્છિત: જડત્વની ક્ષણ

ઉકેલો:

જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ સળિયાના એક છેડે સ્થિત હોય ત્યારે જડતાના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર:

I = (1/3) ML²

I = (1/3) (2 કિલો)(2 મીટર)²

I = (1/3) (2 કિલો)(4 મીટર²)

I = (1/3)(8 કિલોગ્રામ મીટર²)

હું = 8/3 કિલોગ્રામ મીટર²

7. 0.1 મીટર ત્રિજ્યા ધરાવતું 10 કિલો વજનનું ઘન સિલિન્ડર. પરિભ્રમણની અક્ષ ઘન સિલિન્ડરના કેન્દ્રમાં સ્થિત છે, જે નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ છે. સિલિન્ડરનો જડતાનો ક્ષણ શું છે?

જાણીતા:

ઘન નળાકારનું દળ (M) = 10 કિલો

નળાકારની ત્રિજ્યા (L) = 0.1 મીટર

ઇચ્છિત: જડતાનો ક્ષણ

ઇચ્છિત: જડતાનો ક્ષણ

ઉકેલો:

જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ સિલિન્ડરના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય ત્યારે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર:

હું = (૧/૨) મિલી²

I = (1/2) (10 કિગ્રા)(0.1 મીટર)²

I = (1/2) (10 કિલો)(0.01 મીટર²)

I = (1/2)(0.1 કિલોગ્રામ મીટર²)

હું = 0.05 કિલોગ્રામ મીટર²

8. 0.1 મીટર લંબાઈ ધરાવતો 20 કિલોગ્રામનો એકસમાન ગોળો. ગોળાના કેન્દ્રમાં સ્થિત પરિભ્રમણની અક્ષ નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવી છે.

જાણીતા:

ગોળાનું દળ (M) = 20 કિલો

ગોળાની ત્રિજ્યા (L) = 0.1 મીટર

ઇચ્છિત: જડતાનો એક ક્ષણ

ઉકેલો:

જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ ગોળાના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય ત્યારે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર:

હું = (૧/૨) મિલી²

I = (2/5)(20 કિગ્રા)(0.1 મીટર)²

I = (2/5)(20 કિગ્રા)(0.01 મીટર²)

I = (2/5)(0.2 કિલોગ્રામ મીટર²)

હું = 0.4/5 કિલોગ્રામ મીટર²

હું = 0.08 કિલોગ્રામ મીટર²

9. 0.5 મીટર લંબાઈ અને 0.2 મીટર પહોળાઈ ધરાવતી 2 કિલોગ્રામ લંબચોરસ પાતળી પ્લેટ. પરિભ્રમણનો અક્ષ નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ લંબચોરસ પ્લેટના કેન્દ્રમાં સ્થિત છે. લંબચોરસનો જડત્વનો ક્ષણ શું છે?

જાણીતા:

લંબચોરસ પ્લેટનું દળ (M) = 2 કિલો

પ્લેટ (a) ની લંબાઈ = 0.5 મીટર

પ્લેટની પહોળાઈ (b) = 0.2 મીટર

જોઈતું હતું: જડત્વની ક્ષણ

ઉકેલો:

જ્યારે પરિભ્રમણની અક્ષ પ્લેટના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોય ત્યારે જડતાના ક્ષણનું સૂત્ર:

હું = (1/12) એમ (એ² + બી²)

હું = (૧/૧૨)(૨)(૦.૫)² + 0.2²)

હું = (2/12)(0.25 + 0.04)

હું = (૧/૪)(૦)

હું = 0.29/6 કિલોગ્રામ મીટર²