ઇસોથર્મલ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

30 ઇસોથર્મલ થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. નીચે આપેલ PV આકૃતિ બતાવે છે કે એક આદર્શ ગેસ એક સમતાપી પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે . AB પ્રક્રિયામાં ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ

કામ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય PV વળાંક હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે

AB = ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ + લંબચોરસ ક્ષેત્રફળ

ડબલ્યુ = [½ (8 x 10 ⁵ –4 x 10 ⁵ )(3-1)] + [4 x 10 ⁵ (3-1)]

ડબલ્યુ = [½ (4 x 10 ⁵ )(2)] + [4 x 10 ⁵ (2)]

ડબલ્યુ = [૪ x ૧૦ ^૫ ] + [૮ x ૧૦ ^૫ ]

ડબલ્યુ = 12 x ¹⁰⁵ જૌલ્સ

આ કાર્ય ગેસ દ્વારા પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવે છે AB = 12 x 10 ⁵ જૌલ્સ

2. ABC પ્રક્રિયામાં આદર્શ વાયુ દ્વારા કાર્ય થાય છે તેની ગણતરી કરો.

આ કાર્ય આદર્શ વાયુ દ્વારા ABC = પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવે છે. પીવી વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર

AB = ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ + લંબચોરસ ક્ષેત્રફળ

W = [½(10×10 ⁵ –5×10 ⁵ )(30-10)]+[5×10 ⁵ (30-10)]

ડબલ્યુ = [½ (5 x 10 ⁵ )(20)] + [5 x 10 ⁵ (20)]

ડબલ્યુ = [(5 x 10 ⁵ )(10)] + [100 x 10 ⁵ ]

ડબલ્યુ = [50 x 10 ⁵ ] + [100 x 10 ⁵ ]

ડબલ્યુ = 150 x ¹⁰⁵ જૌલ્સ

ડબલ્યુ = 1.5 x ¹⁰⁵ જૌલ્સ

૩. એક આદર્શ ગેસ જે સમતાપી પ્રક્રિયાઓમાંથી પસાર થાય છે. ગેસમાં ગરમીનો જથ્થો ઉમેરવામાં આવે છે જેથી ગેસ પર્યાવરણ પર ૫૦૦૦ જ્યુલનું કામ કરે છે.

જાણીતા:

કાર્ય (W) = 5000 જૌલ

જોઈએ છે: ગેસમાં ગરમી ઉમેરવામાં આવે છે (Q)

ઉકેલો:

આઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા એ એક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જે સતત તાપમાને થાય છે.

ΔU = 3/2 n R ΔT

ΔU = આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર, n = મોલ્સની સંખ્યા, R = સાર્વત્રિક વાયુ સ્થિરાંક, ΔT = તાપમાનમાં ફેરફાર.

ઉપરોક્ત સમીકરણ મુજબ, જો ΔT = 0 હોય તો ΔU = 0.

થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનું સમીકરણ:

ΔU = Q – W

૦ = ક્યૂ – ડબલ્યુ

ક્યૂ = ડબલ્યુ

Q = 5000 જૌલ્સ.

4. નીચેની આકૃતિમાં બતાવેલ સમતાપીય પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ ગેસ માટે PV આકૃતિ. પ્રક્રિયા AB માં ગેસ દ્વારા ઉમેરવામાં આવતી ગરમીની ગણતરી કરો.

જાણીતા:

દબાણ 1 (P ₁ ) = 5 atm = 5 x 10 ⁵ Pa

દબાણ 2 (P ₂ ) = 10 atm = 10 x 10 ⁵ Pa

વોલ્યુમ 1 (V ₁ ) = 2 મીટર ³

વોલ્યુમ 2 (V ₂ ) = 6 મીટર ³

જોઈએ છે : પ્રક્રિયા AB માં ગરમી ઉમેરવામાં આવે છે.

ઉકેલો:

સમતાપી = સતત તાપમાન. નીચેના સમીકરણ મુજબ, જો ΔT = 0 હોય તો ΔU = 0.

ΔU = 3/2 n R ΔT

ΔU = 3/2 n R (0)

ΔU = 0

ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ પર લાગુ કરો :

ΔU = QW

૦ = ક્યુડબલ્યુ

ક્યૂ = ડબલ્યુ

આ કાર્ય આદર્શ વાયુ દ્વારા થાય છે = PV વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર = ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળ + લંબચોરસ ક્ષેત્રફળ

ડબલ્યુ = ½ (પી ₂ - પી ₁ ) (વી ₂ - વી ₁ ) + પી ₁ (વી ₂ - વી ₁ )

ડબલ્યુ = ½ (૧૦ x ૧૦ ^૫ – ૫ x ૧૦ ^૫ )(૬-૨) + (૫ x ૧૦ ^૫ )(૬-૨)

ડબલ્યુ = ½ (5 x 10 ⁵ )(4) + (5 x 10 ⁵ )(4)

ડબલ્યુ = ½ (20 x 10 ⁵ ) + (20 x 10 ⁵ )

ડબલ્યુ = (૧૦ x ૧૦ ^૫ ) + (૨૦ x ૧૦ ^૫ )

ડબલ્યુ = 30 x 10 ⁵ જૌલ

5. 300 K તાપમાને 2 L થી 4 L સુધી સમતાપથી વિસ્તરતા આદર્શ વાયુના 1 મોલ પર થયેલા કાર્યની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 1 \ગુણા 8.314 \ગુણા 300 \ગુણા \ln(2) \અંદાજે 1724 \, \text{J} \)

6. ઉપરોક્ત સમસ્યા માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( Q = W = 1724 \, \text{J} \)

7. ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta U = 0 \, \text{J} \) (કારણ કે પ્રક્રિયા સમતાપી છે)

8. 300 K પર 10 L થી 5 L સુધીના આદર્શ ગેસના સમતાપી સંકોચન માટે, પૂર્ણ થયેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -862 \, \text{J} \)

9. સમસ્યા 1 માં આઇસોથર્મલ વિસ્તરણ માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = nR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 8.314 \times \ln(2) \લગભગ 5.76 \, \text{J/K} \)

10. 200 K પર 4 L થી 2 L સુધીના આદર્શ ગેસના 2 mol ના આઇસોથર્મલ સંકોચન માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શોધો.
ઉકેલ: \( Q = 2 \times 8.314 \times 200 \times \ln\left(\frac{2}{4}\right) \approx -1152 \, \text{J} \)

૧૧. ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા માટે ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta G = 0 \) (બંધ સિસ્ટમમાં ઉલટાવી શકાય તેવી ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા માટે, \( \Delta G = 0 \))

૧૨. ૪૦૦ K તાપમાને ૬ L થી ૩ L સુધીના આદર્શ ગેસના ૩ મોલના સમતાપી સંકોચન માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{6}\right) \approx -17.29 \, \text{J/K} \)

૧૩. ૨૫૦ કેલ્વિન તાપમાને ૨ મોલ માટે ૩ લિટરથી ૬ લિટર સુધી સમતાપથી વિસ્તરતા આદર્શ ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 2 \ગુણા 8.314 \ગુણા 250 \ગુણા \ln(2) \અંદાજે 2874 \, \text{J} \)

૧૪. ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( Q = W = 2874 \, \text{J} \)

૧૫. ઉપરોક્ત સમતાપી વિસ્તરણ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \ડેલ્ટા U = 0 \, \ટેક્સ્ટ{J} \)

16. 500 K પર 5 L થી 10 L સુધીના આદર્શ ગેસના 4 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે એન્ટ્રોપી પરિવર્તનની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(2) \approx 23.03 \, \text{J/K} \)

૧૭. ૩૦૦ K તાપમાને ૮ L થી ૪ L સુધીના આદર્શ ગેસના ૧ મોલના સમતાપી સંકોચન માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( Q = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{4}{8}\right) \approx -862 \, \text{J} \)

18. 350 K પર 3 L થી 9 L સુધી સમતાપી રીતે વિસ્તરતા આદર્શ ગેસના 3 mol દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 3 \ગુણા 8.314 \ગુણા 350 \ગુણા \ln(3) \અંદાજે 5362 \, \text{J} \)

19. ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 14.88 \, \text{J/K} \)

20. 200 K પર 2 L થી 8 L સુધીના આદર્શ ગેસના 2 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( Q = 2 \ગુણા 8.314 \ગુણા 200 \ગુણા \ln(4) \અંદાજે 2304 \, \text{J} \)

21. 500 K પર 10 L થી 5 L સુધીના આદર્શ ગેસના 4 mol ના સમતાપી સંકોચન માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \ડેલ્ટા U = 0 \, \ટેક્સ્ટ{J} \)

22. 300 K પર 5 L થી 15 L સુધીના આદર્શ ગેસના 5 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 5 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 24.81 \, \text{J/K} \)

23. 400 K પર 6 L થી 2 L સુધી આઇસોથર્મલી કોમ્પ્રેસ કરતા આદર્શ ગેસના 2 મોલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 2 \ગુણા 8.314 \ગુણા 400 \ગુણા \ln\left(\frac{2}{6}\right) \approx -2874 \, \text{J} \)

24. 250 K પર 9 L થી 3 L સુધીના આદર્શ ગેસના 3 mol ના આઇસોથર્મલ સંકોચન માટે એન્ટ્રોપી ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -14.88 \, \text{J/K} \)

25. 350 K પર 1 L થી 12 L સુધીના આદર્શ ગેસના 4 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( Q = 8.314 \ગુણા 350 \ગુણા \ln(3) \અંદાજે 1791 \, \text{J} \)

26. 500 K પર 4 L થી 8 L સુધી સમતાપી રીતે વિસ્તરતા આદર્શ ગેસના 4 mol દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 4 \ગુણા 8.314 \ગુણા 500 \ગુણા \ln(2) \અંદાજે 5749 \, \text{J} \)

27. 200 K પર 10 L થી 5 L સુધીના આદર્શ ગેસના 2 mol ના આઇસોથર્મલ કમ્પ્રેશન માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 2 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -5.76 \, \text{J/K} \)

24. 450 K પર 9 L થી 3 L સુધી આઇસોથર્મલી કોમ્પ્રેસ કરતા આદર્શ ગેસના 3 મોલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: \( W = 3 \ગુણા 8.314 \ગુણા 450 \ગુણા \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -4310 \, \text{J} \)

25. 400 K પર 5 L થી 10 L સુધીના આદર્શ ગેસના 5 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: \( \ડેલ્ટા U = 0 \, \ટેક્સ્ટ{J} \)

26. 300 K પર 4 L થી 18 L સુધીના આદર્શ ગેસના 6 mol ના સમતાપી વિસ્તરણ માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો.
ઉકેલ: \( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 19.85 \, \text{J/K} \)

આ સમસ્યાઓમાં ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયાઓના વિવિધ પાસાઓને આવરી લેવામાં આવ્યા છે, જેમાં કરવામાં આવેલ કાર્ય, ગરમીનું સ્થાનાંતરણ, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર અને એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારનો સમાવેશ થાય છે.