બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

૧.૧ કાર્યની વ્યાખ્યા

જો તમે કોઈ પુસ્તકને ટેબલની સપાટી પર ત્યાં સુધી ધક્કો મારશો જ્યાં સુધી તે પુસ્તક સ્થાનાંતરિત ન થાય, તો કહેવામાં આવશે કે તમે પુસ્તક પર કામ કર્યું છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ખેંચાણને કારણે કોઈ વસ્તુ જમીન પર પડે છે, તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળએ તે વસ્તુ પર કામ કર્યું છે. તેનાથી વિપરીત, જો તમે કોઈ વસ્તુને તમારી બધી શક્તિથી એટલી હદે ધક્કો મારશો કે તમને ખૂબ પરસેવો થાય, પણ વસ્તુ બિલકુલ હલતી નથી, તો કહેવામાં આવશે કે તમે વસ્તુ પર કોઈ કામ કર્યું નથી. રોજિંદા જીવનમાં, લોકો કહેશે કે તમે વસ્તુને ધક્કો મારીને સખત મહેનત કરી છે પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, તમે વસ્તુ પર કામ કરતા નથી કારણ કે વસ્તુનું કોઈ સ્થાનાંતરણ થયું નથી.

કોઈ પણ પદાર્થ પર કાર્ય સ્થિર બળ (જેનું પ્રમાણ અને દિશા સ્થિર હોય છે) અથવા ચલ બળ (જેનું પ્રમાણ અને દિશા બદલાય છે) દ્વારા કરી શકાય છે. સ્થિર રકમ અને દિશા સાથે બળનો દાખલો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે, જે પદાર્થ પર ત્યારે કાર્ય કરે છે જ્યારે પદાર્થ જમીનની સપાટીની નજીક હોય છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થ જમીનની સપાટીની નજીક મુક્ત પતનમાં હોય છે, ત્યારે પદાર્થના મુક્ત પતન પ્રવેગનું પ્રમાણ અને દિશા સ્થિર હોય છે કારણ કે પદાર્થને વેગ આપતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું પ્રમાણ અને દિશા સ્થિર હોય છે. અચલ રકમ (પરંતુ સતત દિશા સાથે) સાથે બળનો દાખલો સ્પ્રિંગ બળ છે . બીજું ઉદાહરણ અવકાશમાં છોડવામાં આવતું રોકેટ અથવા પૃથ્વીની સપાટી પર પાછા ફરવાનું છે. જ્યારે રોકેટ છોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર કામ કરતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું પ્રમાણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી ચોરસ અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.

૧.૧.૧ કન્સન્ટન્ટ ફોર્સ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

ગાણિતિક રીતે, કોઈ પદાર્થ પર સતત બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યને બળ અથવા બળના ઘટક દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ વિસ્થાપન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેની દિશા પદાર્થના વિસ્થાપન જેટલી જ હોય ​​છે. એક ખરબચડી સપાટ સમતલની સપાટી પર એક પદાર્થનું અવલોકન કરો જેમાં થ્રસ્ટ ફોર (F) ને કારણે જમણી બાજુનું વિસ્થાપન થાય છે.

આકૃતિ 1. (ટોચ) પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા બળ F જેટલી જ છે. (નીચે) પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા આડી દિશામાં બળ F ના ઘટક (F cos) જેટલી જ છે.

થ્રસ્ટ ફોર્સ (F) દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય છે:

ડબલ્યુ = (એફ)(ઓ)(કોન્સ θ) = એફ · એસ (કોન્સ 0) = એફ · એસ (1)

ડબલ્યુ = એફ ઓ

બળ F ના ઘટક દ્વારા આડી દિશામાં (F cos θ) કરવામાં આવતું કાર્ય છે:

W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos )(s)(1)

ડબલ્યુ = એફ એસ કોસ θ

_{ગતિ ઘર્ષણ બળ (f k} ) દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે:

W = (f _k )(s)(cos 180) = (f _k )(s)(-1)

ડબલ્યુ = – (એફ _કે )(ઓ)

સામાન્ય બળ (N) દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે:

W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0

વજન (w) દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે:

ડબલ્યુ = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0

વર્ણન: W = કાર્ય, s = વિસ્થાપનનું પ્રમાણ, θ = બળ અને વિસ્થાપન વચ્ચેનો ખૂણો.

આકૃતિ 2.

(a) પદાર્થ મુક્ત પતનમાં છે. વજન એ જ દિશામાં છે જે દિશામાં સ્થાનાંતર થાય છે (b) પદાર્થ ઊભી રીતે ઉપર તરફ ખસે છે. વજનની દિશા સ્થાનાંતરની દિશાથી વિરુદ્ધ છે.

પાછલા ઉદાહરણમાં, વજન (w) દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય છે કારણ કે પદાર્થના વજનની દિશા પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશાને લંબ છે. એ નોંધવું જોઈએ કે જો વજનની દિશા પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા જેટલી અથવા તેની વિરુદ્ધ હોય તો વજન દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય શૂન્ય રહેશે નહીં.

આકૃતિ a માં દર્શાવેલ મુક્ત પતન સ્થિતિમાં રહેલી વસ્તુ પર વજન (w) દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે:

W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh

આકૃતિ b માં દર્શાવેલ ઊભી રીતે ઉપર તરફ ગતિ કરતી વસ્તુ પર વજન (w) દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે:

W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh

વર્ણન: w = વજન (ન્યુટન), h = ઊંચાઈ (મીટર), m = દળ (કિલોગ્રામ), g = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (મીટર પ્રતિ ચોરસ સેકન્ડ).

અગાઉના સમજૂતી મુજબ, નીચેના તારણો કાઢવામાં આવે છે: પ્રથમ, જો કોઈ પદાર્થ કોઈ વિસ્થાપનનો અનુભવ કરતો નથી, તો પદાર્થ પર લગાવવામાં આવતું બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી. જો s = 0, W = 0; બીજું, જો કોઈ બળ પદાર્થના વિસ્થાપન તરફ આપેલ ખૂણો બનાવે છે , તો ફક્ત પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા સમાન દિશામાં વહેંચાયેલા બળનો ઘટક પદાર્થ પર કાર્ય કરે છે; ત્રીજું, પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશાને લંબ દિશામાં બળ 90 ^{o નો ખૂણો બનાવશે. Cos 90 = 0; ચોથું, કાર્યમાં સકારાત્મક અથવા નકારાત્મક ચિહ્ન હોઈ શકે છે. જો બળ પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશા સમાન દિશામાં હોય અને 0 o} નો ખૂણો બનાવે , તો તે પદાર્થ પર સકારાત્મક કાર્ય કરે છે. તેનાથી વિપરીત, જો બળ પદાર્થના વિસ્થાપનની દિશાની વિરુદ્ધ દિશા ધરાવે છે અને 180 ^o નો ખૂણો બનાવે છે , તો તે પદાર્થ પર નકારાત્મક કાર્ય કરે છે.

આકૃતિ 3. બળ (F) - વિસ્થાપન (ઓ) ગ્રાફ. કાર્ય છાંયડાવાળા વિસ્તાર જેટલું છે.

જ્યારે પદાર્થ વિસ્થાપનનો અનુભવ કરી રહ્યો હોય ત્યારે તેના પર સ્થિર બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય બળ (F) - સ્થિતિ (s) ગ્રાફમાં છાયાવાળા ક્ષેત્ર જેટલું હોય છે.

 

કાર્યને W (મોટા અક્ષર) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, અને વજનને w (લોઅરકેસ) તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. કાર્યનો SI એકમ ન્યૂટન ∙ મીટર (N m) છે. તે Joule ની સમકક્ષ છે, જેને J તરીકે સંક્ષિપ્તમાં કહેવામાં આવે છે.

^{૧૯મી સદીના} બ્રિટિશ ચિકિત્સક જેમ્સ પ્રેસ્કોટ જુલને શ્રદ્ધાંજલિ આપવા માટે તેનું નામ આ રીતે રાખવામાં આવ્યું હતું.

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૧: અચળ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

ઘર્ષણ રહિત ફ્લોરની સપાટી પર એક પદાર્થ સ્થિર છે. તેના પર 10 N નું બળ લગાવવામાં આવે છે, જે ફ્લોર સામે 30-ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે. જો પદાર્થ 1 મીટર દૂર ખસે છે, તો બળ દ્વારા પદાર્થ પર કેટલું કાર્ય થાય છે?

ઉકેલ:

જાણીતું: F = 10 N, s = 1 મીટર

જોઈએ છે: કામ (W)

W = (F)(s)(cos 30 ^o ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m

ઉદાહરણ પ્રશ્ન 2: અચળ બળ દ્વારા કાર્ય કરો

0.2 કિલો વજનનું નારિયેળ જમીનથી 10 મીટરની ઊંચાઈએથી મુક્ત પતનમાં હોય છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ ² હોય , તો નારિયેળ પર વજન દ્વારા કેટલું કાર્ય થાય છે?

ઉકેલ:

જાણીતું: m = 0.2 kg, h = 10 m, g = 10 m/s ²

જોઈએ છે: વજન દ્વારા કાર્ય (W) (w)

ડબલ્યુ = એફ સે = ડબલ્યુએચ = એમજીએચ = (0.2 કિગ્રા)(10 મી/સે ² )(10 મી) = 20 કિગ્રા મી 2 /સે ² = 20 એન મી = 20 જૌલ્સ

૧.૧.૨ ચલ દળો દ્વારા કાર્ય

ચલ બળનું ઉદાહરણ સ્પ્રિંગ બળ છે. સ્પ્રિંગ બળનું પ્રમાણ સતત બદલાતું રહે છે. તેથી, સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા પદાર્થ પર કરવામાં આવતા કાર્યની ગણતરી સ્થિર બળોના કાર્ય સૂત્ર (W = F s cos θ) નો ઉપયોગ કરીને કરી શકાતી નથી. જો સ્પ્રિંગ ખેંચાય છે, તો સ્પ્રિંગ જેટલું વધુ ખેંચાય છે, સ્પ્રિંગને ખેંચવા માટે વધુ તાણ બળની જરૂર પડે છે. અને જો સ્પ્રિંગ સંકુચિત હોય છે, તો સ્પ્રિંગ જેટલું વધુ સંકુચિત થાય છે, તેટલું વધુ થ્રસ્ટ બળની જરૂર પડે છે. જ્યારે સ્પ્રિંગ સંકુચિત અથવા ખેંચાય છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ બળ 0 (x = 0) થી મહત્તમ મૂલ્ય (F = kx) માં બદલાય છે. આમ, સરેરાશનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ બળની ગણતરી કરવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ બળની સરેરાશ રકમ છે:

કોઈ વસ્તુ પર સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે:

W = કાર્ય, x = Δx = સ્પ્રિંગ વિચલન (મીટર), F = સ્પ્રિંગ ફોર્સ (ન્યુટન).

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩: ચલ બળ દ્વારા કાર્ય

સ્પ્રિંગ પર 1 કિલો વજન ધરાવતું સસ્પેન્ડેડ વજન હોય છે, તેથી સ્પ્રિંગ 2 સેમી સુધી લંબાય છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ ² હોય , તો (a) સ્પ્રિંગ સ્થિરાંક (b) વજન પર સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય નક્કી કરો.

ઉકેલ:

જાણીતું: m = 1 kg, g = 10 m/s ² , x = Δx = 2 cm = 0.02 m.

(a) વસંત સ્થિરાંક

(b) વજન પર સ્પ્રિંગ ફોર્સ દ્વારા કાર્ય કરવામાં આવ્યું હતું

W = -1/2 kx ² = -1/2 (500)(0.02) ² = – (250)(0.0004) = -0.1 જૌલ

વજન પર સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યનું મૂલ્ય નકારાત્મક હોય છે કારણ કે સ્પ્રિંગ બળની દિશા વજનના વિસ્થાપનની દિશાની વિરુદ્ધ હોય છે (સ્પ્રિંગ બળ ઉપરની દિશામાં હોય છે, વજન નીચેની દિશામાં હોય છે).

૧.૨ નેટ વર્ક અથવા નેટ ફોર્સ દ્વારા કાર્ય

જો કોઈ વસ્તુ જ્યારે વિસ્થાપનનો અનુભવ કરી રહી હોય ત્યારે તેના પર ફક્ત એક જ બળ કાર્ય કરે છે, તો કુલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય તે બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય જેટલું જ હોય ​​છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ વસ્તુ મુક્ત પતનમાં હોય અને હવાના પ્રતિબંધને અવગણવામાં આવે, તો પદાર્થ પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે. આ કિસ્સામાં, પદાર્થ પર કાર્ય કરતું કુલ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે (આકૃતિ 2 જુઓ).

W _નેટ = W _{ગુરુત્વાકર્ષણ}

જો કોઈ વસ્તુ જ્યારે વિસ્થાપન અનુભવી રહી હોય ત્યારે તેના પર કેટલાક બળો કામ કરી રહ્યા હોય, તો ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય તે વસ્તુ પર કામ કરતા બધા બળો દ્વારા કરવામાં આવેલા ચોખ્ખા કાર્ય જેટલું જ હોય ​​છે (આકૃતિ 1 જુઓ).

ડબલ્યુ _નેટ = ડબલ્યુ _૧ + ડબલ્યુ _૨ + ડબલ્યુ _૩ + ડબલ્યુ _૪

કોઈ વસ્તુ પર ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યની ગણતરી પહેલા ચોખ્ખા બળ શોધીને અને પછી તેને વિસ્થાપનની માત્રા સાથે ગુણાકાર કરીને પણ કરી શકાય છે.

ડબલ્યુ = ΣF · સે

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૪: નેટવર્ક

ફ્લોર સપાટી પર એક સ્થિર બોક્સને 20 N ના બળથી ધકેલવામાં આવે છે જ્યાં સુધી બોક્સ 1 મીટર દૂર ન જાય. જો થ્રસ્ટ ફોર્સ બોક્સના વિસ્થાપનની દિશામાં જ હોય ​​અને બોક્સ પર 2 N નું ગતિ ઘર્ષણ બળ કામ કરે, તો બોક્સ પરના ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા ચોખ્ખા કાર્યનું પ્રમાણ નક્કી કરો.

ઉકેલ:

જાણીતા: F = 20 N, f _k = 2 N, s = 1 મીટર

ડબલ્યુ ₁ = એફ s = (20 N)(1 મીટર) = 20 Nm = 20 જૌલ્સ

W ₂ = f _k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 Joules

ચોખ્ખું કાર્ય અથવા ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

W _નેટ = W ₁ – W ₂ = 20 J – 2 J = 18 J

ઉદાહરણ પ્રશ્ન 4) ધક્કો મારવાનું બળ (F) સકારાત્મક કાર્ય કરે છે, ગતિ ઘર્ષણ બળ (f _k ) નકારાત્મક કાર્ય કરે છે