કેટલીક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ (આઇસોબેરિક આઇસોથર્મલ આઇસોકોરિક)

30 કેટલીક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓમાં થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ (આઇસોબેરિક આઇસોથર્મલ આઇસોકોરિક)

1. નીચેનો ગ્રાફ વાયુ દ્વારા અનુભવાતા ઉષ્માગતિ ચક્રને દર્શાવે છે. ABCD પ્રક્રિયા પર વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ... છે.

જાણીતા:

દબાણ 1 (P ₁ ) = 2 x 10 ⁵ Pa

દબાણ 2 (P ₂ ) = 4 x 10 ⁵ Pa

વોલ્યુમ 1 (V ₁ ) = 1 મીટર ³

વોલ્યુમ 2 (V ₂ ) = 3 મીટર ³

જોઈએ છે: પ્રક્રિયા ABCD (W) પર ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય.

ઉકેલો:

વાયુ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય ABCD ના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.

ડબલ્યુ = (પી ₂ – પી ₁ )(વી ₂ – વી ₁ )

ડબલ્યુ = (૩ x ૧૦ ^૫ – ૧ x ૧૦ ^૫ )(૪ – ૨)

ડબલ્યુ = (2 x 10 ⁵ )(2)

ડબલ્યુ = 4 x ¹⁰⁵ જૌલ્સ

2. પ્રક્રિયા ABC પર ગેસ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય...

જાણીતા:

દબાણ 1 (P ₁ ) = 3 x 10 ⁵ Pa

દબાણ 2 (P ₂ ) = 6 x 10 ⁵ Pa

વોલ્યુમ 1 (V ₁ ) = 20 સેમી ³ = 20 x 10 ^-6 મીટર ³

વોલ્યુમ 2 (V ₂ ) = 60 સેમી ³ = 60 x 10 ^-6 મીટર ³

ઇચ્છિત : પ્રક્રિયા ABC પર ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય

ઉકેલો:

ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય = ABC નું ક્ષેત્રફળ.

ડબલ્યુ = ½ (પી ₂ – પી ₁ )(વી ₂ – વી ₁ )

ડબલ્યુ = ૧/૨ (૬ x ૧૦ ^૫ – ૩ x ૧૦ ^૫ )(૬૦ x ૧૦ ^-૬ – ૨૦ x ૧૦ ^-૬ )

ડબલ્યુ = ૧/૨ (૩ x ૧૦ ^૫ )(૪૦ x ૧૦ ^-૬ )

ડબલ્યુ = ૧/૨ (૧૨૦ x ૧૦ ^-૧ જૌલ્સ)

ડબલ્યુ = ૧/૨ (૧૨ જૌલ્સ)

ડબલ્યુ = 6 જૌલ

3. નીચે આપેલા આકૃતિમાં બતાવેલ બંધ પાત્રમાં ગેસ માટે PV ડાયાગ્રામ. ગેસ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય કઈ પ્રક્રિયામાં બતાવવામાં આવ્યું છે.

ઉકેલ

પ્રક્રિયા AB અને પ્રક્રિયા DC એ આઇસોબેરિક પ્રક્રિયાઓ છે (દબાણ સતત રાખવામાં આવે છે) . પ્રક્રિયા AD અને પ્રક્રિયા BC એ કોરિક પ્રક્રિયાઓ છે ( વોલ્યુમ બદલાતું નથી).

જ્યારે ગેસ વિસ્તરે છે (પ્રક્રિયા ડીસી) ત્યારે કાર્ય ગેસ દ્વારા કરવામાં આવતું હતું.

આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા (સતત દબાણ) સંબંધિત 9 સમસ્યાઓ અને ઉકેલો અહીં છે:

સમસ્યા 1:
3.0 m³ વાયુને અચળ દબાણે 2.0 m³ સુધી સંકુચિત કરવામાં આવે છે. જો પ્રારંભિક તાપમાન 300 K હોય, તો અંતિમ તાપમાન કેટલું હશે?

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), આપણે અંતિમ તાપમાન માટે ઉકેલ લાવી શકીએ છીએ:

\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \સૂચવે છે T_2 = \frac{2.0 \વખત 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]

સમસ્યા 2:
2 atm પર 1 લિટરથી 3 લિટર સુધી સમલૈંગિક રીતે વિસ્તરતા 2 મોલ ગેસ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \( W = P \Delta V \):

\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{liters} = 4\, \text{atm}\cdot\text{liters}
\]

સમસ્યા 3:
જ્યારે એક આદર્શ ડાયટોમિક ગેસના 4 મોલને 200 K થી 300 K સુધીના સતત દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે ત્યારે આંતરિક ઊર્જામાં કેટલો ફેરફાર થાય છે?

ઉકેલ:
ડાયટોમિક ગેસ માટે સતત દબાણ પર આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \( \Delta U = nC_pdT \), જ્યાં \( C_p = \frac{7}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા U = 4 \ગુણા \frac{7}{2} \ગુણા 8.314 \ગુણા (300 – 200) \આશરે 6990\, \text{J}
\]

સમસ્યા 4:
જ્યારે 400 K પર એક મોનોટોમિક ગેસના 2 મોલ 5 લિટરથી 10 લિટર સુધી વિસ્તરે છે ત્યારે આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉમેરવામાં આવતી ગરમીની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયામાં ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \( Q = nC_pdT \), જ્યાં \( C_p = \frac{5}{2}R \), અને \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):

\[
Q = 2 \times \frac{5}{2} \times 8.314 \times \left(400 \times \frac{10}{5} – 400\right) = 3316\, \text{J}
\]

સમસ્યા 5:
200 K ના તાપમાને 1 લિટરથી 2 લિટર સુધી વિસ્તરેલા ટ્રાયટોમિક ગેસના 3 મોલના એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર નક્કી કરો.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: \( \Delta H = nC_pdT \), જ્યાં \( C_p = \frac{f}{2}R \) અને \( f = 6 \):

\[
\ડેલ્ટા H = 3 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \left(200 \times \frac{2}{1} – 200\right) = 4989\, \text{J}
\]

સમસ્યા 6:
શરૂઆતમાં 300 K અને 5 લિટર પર 2 મોલ વાયુના અંતિમ કદની ગણતરી કરો જ્યારે તેને સતત દબાણે 500 K સુધી ગરમ કરવામાં આવે.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને:

\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \સૂચવે છે V_2 = \frac{V_1 \વખત T_2}{T_1} = \frac{5 \વખત 500}{300} \આશરે 8.33\, \ટેક્સ્ટ{લિટર}
\]

સમસ્યા 7:
જ્યારે એક મોનોટોમિક ગેસ 2 atm પર 6 લિટરથી 3 લિટર સુધી સંકુચિત થાય છે ત્યારે તે કેટલું કાર્ય કરે છે તે શોધો.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને:

\[
W = P \Delta V = 2 \વખત (3 – 6) = -6\, \text{atm}\cdot\text{લિટર}
\]

સમસ્યા 8:
એક ડાયટોમિક ગેસ 300 K પર 3 લિટરથી 6 લિટર સુધી આઇસોબેરિક વિસ્તરણમાંથી પસાર થાય છે. એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર શોધો.

ઉકેલ:
ડાયટોમિક ગેસ માટે આઇસોબેરિક પ્રક્રિયામાં એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_p = \frac{7}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 \વખત \frac{7}{2} \વખત 8.314 \વખત \ln\frac{300 \વખત \frac{6}{3}}{300} + 2 \વખત 8.314 \વખત \ln\frac{6}{3} \અંદાજે 34.76\, \ટેક્સ્ટ{J/K}
\]

સમસ્યા 9:
500 K પર 10 લિટરથી 5 લિટર સુધીના ટ્રાયટોમિક ગેસના 5 મોલના આઇસોબેરિક સંકોચન દરમિયાન ગરમીના સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
આઇસોબેરિક પ્રક્રિયામાં ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_p = \frac{f}{2}R \) અને \( f = 6 \):

\[
Q = 5 \times \frac{6}{2} \times 8.314 \times \left(500 \times \frac{5}{10} – 500\right) = -12473\, \text{J}
\]

આ સમસ્યાઓ આઇસોબેરિક પ્રક્રિયા સંબંધિત વિવિધ ખ્યાલોની વ્યાપક ઝાંખી આપવી જોઈએ.

અહીં ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા (સતત તાપમાન) સંબંધિત 9 સમસ્યાઓ અને ઉકેલો છે:

 સમસ્યા 1:
સમસ્યા: 300 K પર 1 લિટરથી 2 લિટર સુધી સમતાપથી વિસ્તરતા આદર્શ ગેસના 2 મોલ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
આદર્શ ગેસ માટે સમતાપી પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:
\[ ડબલ્યુ = એનઆરટી\ln\ફ્રેક{વી_2}{વી_1} \]

\[
W = 2 \ગુણા 8.314 \ગુણા 300 \ગુણા \ln\frac{2}{1} \અંદાજે 3454\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 2:
સમસ્યા: જ્યારે ગેસના 3 મોલને 4 લિટરથી 2 લિટર સુધી 400 K પર સમતાપી રીતે સંકુચિત કરવામાં આવે છે ત્યારે સ્થાનાંતરિત ગરમી શોધો.

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટે સમીકરણનો ઉપયોગ: \( Q = W \):

\[
Q = 3 \ગુણા 8.314 \ગુણા 400 \ગુણા \ln\frac{2}{4} \અંદાજે -3462\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 3:
જ્યારે 300 K પર 1 લિટરથી 5 લિટર સુધી ગેસના 4 મોલ આઇસોથર્મલ વિસ્તરણમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર નક્કી કરો.

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
\ડેલ્ટા S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 \ગુણા 8.314 \ગુણા \ln\frac{5}{1} \અંદાજે 46.15\, \ટેક્સ્ટ{J/K}
\]

સમસ્યા 4:
જ્યારે આદર્શ વાયુના 1 મોલને 200 K પર 6 લિટરથી 3 લિટર સુધી સમતાપી રીતે સંકુચિત કરવામાં આવે છે ત્યારે કરવામાં આવેલા કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
W = 1 \ગુણા 8.314 \ગુણા 200 \ગુણા \ln\frac{3}{6} \અંદાજે -575\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 5:
સ્થિર તાપમાને 2 લિટરથી 6 લિટર સુધીના સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન 3 મોલ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર નક્કી કરો.

ઉકેલ:
આદર્શ વાયુની સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે:

\[
\ડેલ્ટા U = 0\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 6:
જ્યારે 250 K પર 5 મોલ વાયુને 3 લિટરથી 6 લિટર સુધી સમતાપથી વિસ્તૃત કરવામાં આવે ત્યારે ગરમીના સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયામાં ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
Q = 5 \ગુણા 8.314 \ગુણા 250 \ગુણા \ln\frac{6}{3} \અંદાજે 2879\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 7:
૧૫૦ K પર ૪ લિટરથી ૨ લિટર સુધીના સમતાપી સંકોચન દરમિયાન ગેસના ૨ મોલ દ્વારા શું કાર્ય થાય છે?

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
W = 2 \ગુણા 8.314 \ગુણા 150 \ગુણા \ln\frac{2}{4} \અંદાજે -1151\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 8:
જ્યારે ગેસના 3 મોલને 500 K પર 5 લિટરથી 1 લિટર સુધી સમતાપથી સંકુચિત કરવામાં આવે છે ત્યારે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર શોધો.

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
\ડેલ્ટા S = 3 \ગુણા 8.314 \ગુણા \ln\frac{1}{5} \અંદાજે -34.77\, \ટેક્સ્ટ{J/K}
\]

સમસ્યા 9:
100 K પર 2 લિટરથી 8 લિટર સુધી સમતાપથી વિસ્તરતા આદર્શ ગેસના 4 મોલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય નક્કી કરો.

ઉકેલ:
સમતાપી પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતા કાર્ય માટે સમીકરણનો ઉપયોગ:

\[
W = 4 \ગુણા 8.314 \ગુણા 100 \ગુણા \ln\frac{8}{2} \અંદાજે 2304\, \ટેક્સ્ટ{J}
\]

આ સમસ્યાઓમાં ઇસોથર્મલ પ્રક્રિયા સંબંધિત વિવિધ ખ્યાલો આવરી લેવામાં આવે છે, જેમ કે પૂર્ણ થયેલ કાર્ય, ગરમીનું સ્થાનાંતરણ અને એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર.

આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા (સતત વોલ્યુમ) સંબંધિત 9 સમસ્યાઓ અને ઉકેલો અહીં છે:

સમસ્યા 1:
જ્યારે તાપમાન સ્થિર જથ્થા પર 200 K થી 400 K સુધી વધે છે ત્યારે એક-પરમાણુ આદર્શ વાયુના 3 મોલ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
અચળ જથ્થા પર આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \( \Delta U = nC_v\Delta T \), જ્યાં \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા U = 3 \ગુણા \frac{3}{2} \ગુણા 8.314 \ગુણા (400 – 200) \આશરે 3741\, \text{J}
\]

સમસ્યા 2:
જ્યારે તાપમાન 300 K થી 200 K સુધી સ્થિર જથ્થા પર ઘટે છે ત્યારે ડાયટોમિક ગેસના 2 મોલ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો.

ઉકેલ:
સ્થિર વોલ્યુમ પર ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને: \( Q = \Delta U = nC_v\Delta T \), જ્યાં \( C_v = \frac{5}{2}R \):

\[
Q = 2 \ વખત \ frac{5}{2} \ વખત 8.314 \ વખત (200 – 300) \ આશરે -4157 \, \ ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 3:
જ્યારે તાપમાન સ્થિર જથ્થા પર 100 K થી 300 K સુધી વધે છે ત્યારે ટ્રાયટોમિક ગેસના 4 મોલ માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
સ્થિર વોલ્યુમ પર એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{f}{2}R \) અને \( f = 6 \):

\[
\ડેલ્ટા S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \વખત \frac{6}{2} \વખત 8.314 \વખત \ln\frac{300}{100} \અંદાજે 115.36\, \ટેક્સ્ટ{J/K}
\]

સમસ્યા 4:
આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુ શું કાર્ય કરે છે?

ઉકેલ:
આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન વોલ્યુમ સ્થિર હોવાથી, કોઈ કાર્ય થતું નથી:

\[
W = 0\, \text{J}
\]

સમસ્યા 5:
એક મોનોટોમિક આદર્શ વાયુના 5 મોલ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ નક્કી કરો જ્યારે તેને 500 K થી 300 K સુધી સ્થિર જથ્થા પર ઠંડુ કરવામાં આવે છે.

ઉકેલ:
સ્થિર વોલ્યુમ પર ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
Q = 5 \ વખત \ frac{3}{2} \ વખત 8.314 \ વખત (300 – 500) \ આશરે -6232 \, \ ટેક્સ્ટ{J}
\]

સમસ્યા 6:
જ્યારે તાપમાન સ્થિર જથ્થા પર 150 K થી 250 K સુધી વધે છે ત્યારે ડાયટોમિક ગેસના 1 મોલ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.

ઉકેલ:
અચળ કદ પર આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{5}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા U = 1 \ગુણા \frac{5}{2} \ગુણા 8.314 \ગુણા (250 – 150) \આશરે 2079\, \text{J}
\]

સમસ્યા 7:
જ્યારે તાપમાન સ્થિર જથ્થા પર 600 K થી 300 K સુધી ઘટે છે ત્યારે મોનોટોમિક ગેસના 3 મોલ માટે એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર નક્કી કરો.

ઉકેલ:
સ્થિર વોલ્યુમ પર એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર માટે સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા S = 3 \વખત \frac{3}{2} \વખત 8.314 \વખત \ln\frac{300}{600} \અંદાજે -34.59\, \ટેક્સ્ટ{J/K}
\]

સમસ્યા 8:
જ્યારે તાપમાન સતત વોલ્યુમ પર 200 K થી 400 K સુધી વધારવામાં આવે છે ત્યારે ટ્રાયટોમિક ગેસના 2 મોલ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ કેટલું થાય છે?

ઉકેલ:
સ્થિર વોલ્યુમ પર ગરમીના સ્થાનાંતરણ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{6}{2}R \):

\[
Q = 2 \ગુણા \frac{6}{2} \ગુણા 8.314 \ગુણા (400 – 200) \અંદાજે 4986\, \text{J}
\]

સમસ્યા 9:
એક મોનોટોમિક આદર્શ વાયુના 4 મોલ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો જ્યારે તેને 250 K થી 350 K સુધી સ્થિર વોલ્યુમ પર ગરમ કરવામાં આવે છે.

ઉકેલ:
અચળ કદ પર આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \( C_v = \frac{3}{2}R \):

\[
\ડેલ્ટા U = 4 \ગુણા \frac{3}{2} \ગુણા 8.314 \ગુણા (350 – 250) \આશરે 4986\, \text{J}
\]

આ સમસ્યાઓ આઇસોકોરિક પ્રક્રિયાના વિવિધ પાસાઓને આવરી લે છે, જેમ કે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર અને વિવિધ પ્રકારના વાયુઓ માટે એન્ટ્રોપી.