આઇસોકોરિક થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રક્રિયાઓ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

30 આઇસોકોરિક થર્મોડાયનેમિક્સ પ્રક્રિયાઓ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. નીચે આપેલ PV આકૃતિ બતાવે છે કે એક આદર્શ વાયુ આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે. AB પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલો:

પ્રક્રિયા AB એક આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા (અચલ વોલ્યુમ) છે. વોલ્યુમ સ્થિર છે જેથી વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.

.[irp]

^{2. 47 °} C અને 2 x 10 ^{5 Pa} દબાણ પર મોનોએટોમિક ગેસના ત્રણ મોલ , આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થાય છે જેથી દબાણ 3 x 10 ⁵ Pa વધે છે. ગેસની આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર છે... સાર્વત્રિક ગેસ સ્થિરાંક (R) = 8.315 J/mol.K

જાણીતા:

પ્રારંભિક તાપમાન (T ₁ ) = 47 ^o C + 273 = 320 K

પ્રારંભિક દબાણ (P ₁ ) = 2 x 10 ⁵ Pa

અંતિમ દબાણ (P ₂ ) = 3 x 10 ⁵ Pa

સાર્વત્રિક વાયુ સ્થિરાંક (R) = 8.315 J/mol.K

છછુંદરની સંખ્યા (n) = 3

ઇચ્છિત: ગેસની આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર.

ઉકેલો:

આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં, વોલ્યુમ સતત રાખવામાં આવે છે જેથી વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય ન થાય (W = 0).

ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ :

ΔU = QW

ΔU = Q-0

ΔU = ક્યૂ

ΔU = આંતરિક ઊર્જા, Q = ગરમી

ગેસની આંતરિક ઊર્જા:

ΔU = 3/2 n R ΔT = 3/2 n R (T ₂ – T ₁ )

ગે-લુસેકનો નિયમ ( અચલ વોલ્યુમ ) :

ગેસની આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔU = 3/2 n R (T ₂ – T ₁ ) = 3/2 (3)(8.315)(480-320)

ΔU = 3/2 (24.945)(160) = 3/2 (3991.2)

ΔU = 5986.8 જૌલ

^{૩. ૨૭ ડિગ્રી} સેલ્સિયસ તાપમાને ૦.૨ મોલ મોનોટોમિક વાયુઓ બંધ પાત્રમાં હોય છે. ગેસમાં ગરમી ઉમેરવામાં આવે છે જેથી ગેસનું તાપમાન ૪૦૦ K થાય છે... સાર્વત્રિક ગેસ સ્થિરાંક (R) = ૮.૩૧૫ J/mol.K

જાણીતા:

મોલ્સની સંખ્યા (n) = 0.2 મોલ્સ

પ્રારંભિક તાપમાન (T ₁ ) = 27 ^o C + 273 = 300 K

અંતિમ તાપમાન (T ₂ ) = 400 K

સાર્વત્રિક સ્થિર વાયુ (R) = 8.315 J/mol.K

જોઈએ છે : ગરમી ઉમેરવામાં આવી છે (Q)

ઉકેલો:

આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં, વોલ્યુમને સ્થિર રાખવામાં આવે છે જેથી વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય ન થાય (W = 0).

થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ:

ΔU = QW

ΔU = Q-0

ΔU = ક્યૂ

ΔU = આંતરિક ઊર્જા, Q = ગરમી

ગેસની આંતરિક ઊર્જા:

ΔU = 3/2 n R ΔT = 3/2 n R (T ₂ – T ₁ )

ΔU = 3/2 (0.2)(8.315)(400-300)

ΔU = 3/2 (0.2)(8.315)(100)

ΔU = 249.45 જૌલ

4. 300 K ના પ્રારંભિક તાપમાનથી 400 K ના અંતિમ તાપમાન સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ ગેસ માટે ગરમીના સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરો. ધારો કે 2 mol ગેસ છે, અને સ્થિર વોલ્યુમ (Cᵥ) પર મોલર ગરમી ક્ષમતા 20 J/(mol K) છે.
ઉકેલ: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 2 mol × 20 J/(mol K) × (400 K – 300 K) = 4000 J

5. ઉપરોક્ત સમસ્યા માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર શોધો.
ઉકેલ: ΔU = ΔQ = 4000 J

6. ઉપરોક્ત પરિસ્થિતિઓ માટે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય નક્કી કરો.
ઉકેલ: W = 0 J (કારણ કે વોલ્યુમ બદલાતું નથી, કોઈ કાર્ય થતું નથી)

7. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા એક-પરમાણુ આદર્શ વાયુ માટે, જો પ્રારંભિક દબાણ 2 atm હોય અને અંતિમ દબાણ 3 atm હોય, તો અંતિમ અને પ્રારંભિક તાપમાનનો ગુણોત્તર શું છે?
ઉકેલ: કારણ કે P₁/T₁ = P₂/T₂, T₂/T₁ = 3/2

8. જ્યારે તાપમાન 300 K થી 600 K માં બદલાય છે, અને n = 2 mol, Cᵥ = 20 J/(mol·K) થાય છે, ત્યારે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ ગેસ માટે એન્ટ્રોપીમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે?
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 2 × 20 × ln(600/300) ≈ 27.73 J/K

9. જો ડાયાટોમિક આદર્શ વાયુની પ્રારંભિક સ્થિતિ V = 2 L, P = 1 atm, અને T = 300 K દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો જો તાપમાન આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં બમણું થાય તો અંતિમ દબાણ શોધો.
ઉકેલ: P₂ = 2 × P₁ = 2 atm

10. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જામાં ફેરફાર શોધો.
ઉકેલ: ΔG = 0 (બંધ સિસ્ટમમાં આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે, ΔG = 0)

૧૧. જો પ્રારંભિક તાપમાન ૨૦૦ K હોય અને પ્રારંભિક અને અંતિમ દબાણ અનુક્રમે ૨ atm અને ૪ atm હોય, તો આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ ગેસના અંતિમ તાપમાનની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: T₂ = 2 × T₁ = 400 K

૧૨. આદર્શ વાયુ માટે, જો સ્થિર જથ્થા (Cᵥ) પર ગરમીની ક્ષમતા ૩૦ J/(mol·K) હોય, તો જ્યારે તાપમાન ૩૦૦ K થી ૪૫૦ K માં બદલાય છે, ત્યારે ૩ મોલ વાયુ સાથે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શોધો.
ઉકેલ: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 3 × 30 × 150 = 13500 J

૧૩. ઉપરોક્ત પ્રક્રિયા માટે, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ΔU = ΔQ = 13500 J

14. n = 1 mol, Cᵥ = 25 J/(mol K), T₁ = 200 K, અને T₂ = 400 K સાથે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો.
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 25 × ln(2) ≈ 17.33 J/K

૧૫. ૩ મોલ ગેસની આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શોધો, અને તાપમાન ૨૦૦ K થી ૩૦૦ K સુધી બદલાય છે.
ઉકેલ: W = 0 J (કારણ કે વોલ્યુમ બદલાતું નથી, કોઈ કાર્ય થતું નથી)

૧૬. ૧૫૦ K ના પ્રારંભિક તાપમાન, ૩૦૦ K ના અંતિમ તાપમાન અને ૪ mol વાયુ માટે Cᵥ = ૧૫ J/(mol·K) સાથે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ વાયુ માટે ગરમીના સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 4 × 15 × 150 = 9000 J

17. n = 1 mol, Cᵥ = 30 J/(mol·K), T₁ = 100 K, અને T₂ = 200 K ધરાવતી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ ગેસ માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર કેટલો છે?
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 30 × ln(2) ≈ 20.79 J/K

18. P₁ = 5 atm, T₁ = 250 K, અને T₂ = 500 K ને ધ્યાનમાં રાખીને, આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા ગેસનું અંતિમ દબાણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: P₂ = (T₂/T₁) × P₁ = 2 × 5 atm = 10 atm

૧૯. ૩૦૦ K થી ૬૦૦ K સુધી આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા એક-પરમાણુ આદર્શ વાયુના ૫ મોલ માટે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ શોધો. ધારો કે Cᵥ = ૧૫ J/(mol K).
ઉકેલ: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 5 × 15 × 300 = 22500 J

20. ઉપરોક્ત સમસ્યા માટે આંતરિક ઊર્જામાં શું ફેરફાર થાય છે?
ઉકેલ: ΔU = ΔQ = 22500 J

21. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો જ્યાં n = 2 mol, Cᵥ = 25 J/(mol K), T₁ = 300 K, અને T₂ = 600 K હોય.
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 2 × 25 × ln(2) ≈ 34.66 J/K

22. જો પ્રારંભિક તાપમાન 400 K હોય અને પ્રારંભિક અને અંતિમ દબાણ અનુક્રમે 3 atm અને 6 atm હોય, તો આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા એક મોનોટોમિક આદર્શ ગેસના 1 મોલના અંતિમ તાપમાનની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: T₂ = 2 × T₁ = 800 K

23. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા ડાયટોમિક આદર્શ વાયુ માટે, જ્યારે તાપમાન 300 K થી 600 K માં બદલાય છે, ત્યારે 2 mol વાયુ અને Cᵥ = 30 J/(mol·K) સાથે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ΔU = n × Cᵥ × ΔT = 2 × 30 × 300 = 18000 J

૧૬. ૧૫૦ K ના પ્રારંભિક તાપમાન, ૩૦૦ K ના અંતિમ તાપમાન અને ૪ mol વાયુ માટે Cᵥ = ૧૫ J/(mol·K) સાથે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા આદર્શ વાયુ માટે ગરમીના સ્થાનાંતરણની ગણતરી કરો.
ઉકેલ: ΔQ = n × Cᵥ × ΔT = 2 × 20 × 200 = 8000 J

25. ઉપરોક્ત પરિસ્થિતિઓ માટે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય શોધો.
ઉકેલ: W = 0 J (કારણ કે વોલ્યુમ બદલાતું નથી, કોઈ કાર્ય થતું નથી)

26. જ્યારે તાપમાન 400 K થી 800 K માં બદલાય છે, અને n = 3 mol, Cᵥ = 20 J/(mol·K) થાય છે, ત્યારે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાં આદર્શ ગેસ માટે એન્ટ્રોપીમાં કેટલો ફેરફાર થાય છે?
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 3 × 20 × ln(2) ≈ 41.58 J/K

27. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે ગિબ્સ મુક્ત ઊર્જામાં ફેરફાર શોધો.
ઉકેલ: ΔG = 0 (બંધ સિસ્ટમમાં આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે, ΔG = 0)

28. P₁ = 3 atm, T₁ = 300 K, અને T₂ = 450 K ને ધ્યાનમાં રાખીને, આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતા ગેસનું અંતિમ દબાણ નક્કી કરો.
ઉકેલ: P₂ = (T₂/T₁) × P₁ = 1.5 × 3 atm = 4.5 atm

29. 3 mol વાયુ, Cᵥ = 20 J/(mol K) સાથે આઇસોકોરિક પ્રક્રિયામાંથી પસાર થતી સિસ્ટમ માટે આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારની ગણતરી કરો, અને તાપમાન 200 K થી 400 K સુધી બદલાય છે.
ઉકેલ: ΔU = n × Cᵥ × ΔT = 3 × 20 × 200 = 12000 J

30. આઇસોકોરિક પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપી ફેરફાર નક્કી કરો જ્યાં n = 4 mol, Cᵥ = 30 J/(mol K), T₁ = 150 K, અને T₂ = 300 K હોય.
ઉકેલ: ΔS = n × Cᵥ × ln(T₂/T₁) = 4 × 30 × ln(2) ≈ 55.86 J/K

આ સમસ્યાઓ આઇસોકોરિક પ્રક્રિયાઓથી સંબંધિત વિવિધ ખ્યાલોને આવરી લે છે, જેમ કે ગરમીનું સ્થાનાંતરણ, આંતરિક ઊર્જા પરિવર્તન, પૂર્ણ થયેલ કાર્ય, એન્ટ્રોપી પરિવર્તન અને વધુ.