વક્ર સપાટીઓ પર યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

વક્ર સપાટીઓ પર યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

1. જો બિંદુ A પર બોલની ગતિ 6 m/s હોય, તો બિંદુ B પર બોલની ગતિ √92 m/s છે, અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g = 10 m/s છે ^2. બિંદુ B (h) ની ઊંચાઈ કેટલી છે?

જાણીતા:

બિંદુ A (v) પર બોલની ગતિ_A) = ૫૦ મી/સેકન્ડ

_{બિંદુ B (v B} ) પર બોલની ગતિ = √92 m/s

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

_{A (h A} ) ની ઊંચાઈ = 5.6 મીટર

_{B (h B} ) ની ઊંચાઈ = h

ઇચ્છિત: બિંદુ B (h) ની ઊંચાઈ

ઉકેલો:

પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા

બિંદુ A પર, બોલની ગતિ = 0, તેથી બોલની ગતિ ઊર્જા = 0. KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (0) = 0.

૫.૬ મીટરની ઊંચાઈ પર બોલ એટલે કે બોલમાં ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા : PE = mgh = m (10)(5.6) = 5.6 મીટર

પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા + ગતિ ઊર્જા = 56 મીટર + 0 = 56 મીટર

અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા + ગતિ ઊર્જા

બિંદુ B પર, બોલની ઊંચાઈ h છે. ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

બોલની ગતિ ઊર્જા : KE = 1/2 mv ² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m

અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા = ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જા + ગતિ ઊર્જા = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત:

પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા = અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા

૫૬ મીટર = મીટર (૧૦ કલાક + ૪૬)

૫૬ = ૧૦ કલાક + ૪૬

૫૬ – ૪૬ = ૧૦ કલાક

૯૦૦ = ૧૯.૬ કલાક

ક = ૧/૨

h = 1 મીટર

2.

જો પ્રારંભિક વેગ = 0, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ = 10 m/s ² , તો B ની ઊંચાઈ પર ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

પ્રારંભિક ગતિ (v _o ) = 0

શરૂઆતની ઊંચાઈ (h _o ) = 50 મીટર – 10 મીટર = 40 મીટર

અંતિમ ઊંચાઈ (h _t ) = 0

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

ઇચ્છિત: અંતિમ ગતિ (v _t )

ઉકેલો:

ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

સંભવિત ઊર્જામાં ફેરફાર:

ΔPE = મિલિગ્રામ (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 મીટર

યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ ગતિ (v _t ) ની ગણતરી કરો :

૦ = ΔKE + ΔPE

૦ = ૧/૨ મીટર _વી ^૨ – ૪૦૦ મીટર

૧/૨ મીટર વી _ટી ^૨ = ૪૦૦ મીટર

૧/૨ વિ _ટી ^૨ = ૪૦૦

v _t ² = 2(400)

v _t = √(400)(2)

v _t = 20√2 મીટર/સેકન્ડ

1. "યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ" નો અર્થ શું છે?
   • જવાબ: યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો અર્થ એ છે કે જો ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા રૂઢિચુસ્ત બળો તેના પર કાર્ય કરે તો જ એકલવાયેલી પ્રણાલીની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા (ગતિ અને સંભવિત ઊર્જાનો સરવાળો) સ્થિર રહે છે.
2. વક્ર સપાટી પર ગતિ કરતી વસ્તુ (જેમ કે બોલ વક્ર રેમ્પ પરથી નીચે ફરતો હોય) તેની યાંત્રિક ઊર્જા કેવી રીતે બચાવે છે?
   • જવાબ: જેમ જેમ પદાર્થ વક્ર સપાટી પરથી નીચે જાય છે, તેમ તેમ સ્થિતિજ ઊર્જા ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, પરંતુ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સ્થિર રહે છે, ધારી લઈએ કે કોઈ બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો (જેમ કે ઘર્ષણ) કામ કરી રહ્યા નથી.
3. જો કોઈ બોલ વક્ર રેમ્પની ટોચ પર આરામથી મુક્ત થાય છે, તો રેમ્પ નીચે જતા તેની ગતિ ઊર્જા કેવી રીતે બદલાય છે?
   • જવાબ: બોલ રેમ્પ પરથી નીચે જાય છે તેમ તેની ગતિ ઊર્જા વધે છે કારણ કે તેની સ્થિતિજ ઊર્જા ઘટે છે અને ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
4. ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં, વક્ર સ્લાઇડના તળિયે બોલની ગતિ અને સમાન ઊંચાઈની સીધી સ્લાઇડની તુલના કેવી હશે?
   • જવાબ: તળિયે બોલની ગતિ વક્ર અને સીધી સ્લાઇડ્સ બંને માટે સમાન હશે કારણ કે સ્થિતિજ ઊર્જાનું ગતિજ ઊર્જામાં રૂપાંતર ફક્ત ઊભી ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે, લીધેલા માર્ગ પર નહીં.
5. ચોક્કસ ઊંચાઈથી નીચે ઉતર્યા પછી વક્ર રેમ્પ પર ફેરવવામાં આવે ત્યારે બોલ તેની મૂળ ઊંચાઈ સુધી કેમ પહોંચી શકતો નથી?
   • જવાબ: જો બોલ પર ઘર્ષણ જેવા બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો કાર્ય કરે છે, તો તે ગતિ વિરુદ્ધ કાર્ય કરશે, બોલની કેટલીક યાંત્રિક ઊર્જાને ગરમી જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત કરશે. પરિણામે, બોલમાં તેની મૂળ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે પૂરતી ઊર્જા નહીં હોય.
6. જો બે અલગ અલગ આકારના પદાર્થો (દા.ત., ગોળા અને ઘન) એક જ ઊંચાઈ પરથી વળાંકવાળા રસ્તા પર સરકે અને ગડી ન જાય, તો શું તેમની નીચે સમાન ગતિ હશે? શા માટે?
   • જવાબ: હા, તળિયે તેમની ગતિ સમાન હશે. ધારો કે કોઈ રોલિંગ અને ઘર્ષણ નહીં હોય, તો તેમની ગતિ નક્કી કરતું એકમાત્ર પરિબળ પ્રારંભિક ઊંચાઈના આધારે ઊર્જાનું સંરક્ષણ છે, તેમના આકારના આધારે નહીં.
7. સપાટીની વક્રતા તેની સાથે ગતિ કરતી વસ્તુ પરના સામાન્ય બળને કેવી રીતે અસર કરે છે?
   • જવાબ: વક્રતાને કારણે પદાર્થ ગતિ કરે છે તેમ સામાન્ય બળની દિશા બદલાય છે. અંતર્મુખ ઉપરની સપાટી પર (જેમ કે વાટકીની અંદરની સપાટી), વક્ર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળને કારણે તળિયે સામાન્ય બળ વધારે હોય છે. તેનાથી વિપરીત, બહિર્મુખ સપાટી પર, ટોચના બિંદુએ સામાન્ય બળ ઘટી શકે છે અથવા શૂન્ય પણ થઈ શકે છે (વસ્તુ સપાટી છોડી દે છે).
8. વક્ર સપાટી પર યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણમાં વક્રતા ત્રિજ્યા શું ભૂમિકા ભજવે છે?
   • જવાબ: વક્રતાની ત્રિજ્યા પોતે યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણને સીધી અસર કરતી નથી. જો કે, તે સામાન્ય બળને અને જો ઘર્ષણ હોય, તો બિન-રૂઢિચુસ્ત બળોને કારણે ગુમાવેલી ઊર્જાની માત્રાને પ્રભાવિત કરી શકે છે.
9. જો કોઈ ટ્રેકની વચ્ચે ડિપ હોય (જેમ કે U-આકારનો વળાંક), તો જ્યારે કોઈ વસ્તુ ડિપમાંથી પસાર થાય છે અને બીજી બાજુ ઉપર જાય છે ત્યારે તેની યાંત્રિક ઊર્જા કેવી રીતે બદલાય છે?
   • જવાબ: પદાર્થ જેમ જેમ ઊંડાણમાં જાય છે તેમ તેમ તેની સ્થિતિ ઊર્જા ઘટશે અને તેની ગતિ ઊર્જા વધશે. જેમ જેમ તે બીજી બાજુ ઉપર જશે તેમ તેમ તેની ગતિ ઊર્જા ઘટશે, અને તેની સ્થિતિ ઊર્જા વધશે. જો ફક્ત રૂઢિચુસ્ત બળો કાર્ય કરે છે, તો સમગ્ર ગતિ દરમ્યાન કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સ્થિર રહે છે.
10. શું કોઈ પદાર્થ વક્ર સપાટી પર ગતિ કરતી વખતે ટ્રાન્સલેશનલ અને રોટેશનલ ગતિ ઊર્જા બંને ધરાવી શકે છે?

• જવાબ: હા, જો બોલ જેવી કોઈ વસ્તુ વક્ર સપાટી પર (લસ્યા વિના) ફરે છે, તો તેના દળના કેન્દ્રની ગતિને કારણે તેમાં અનુવાદાત્મક ગતિ ઊર્જા અને તેની ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણને કારણે પરિભ્રમણાત્મક ગતિ ઊર્જા હશે.