કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત
કાર્ય-ગતિ ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે ચોખ્ખું કાર્ય અથવા ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે.
ડબલ્યુ નેટ = પ્રતિ ટી – પ્રતિ ઓ = 1⁄2 મીટર(v t 2 – v o 2 )
W નેટ = બે પ્રકારના બળ હોય છે, રૂઢિચુસ્ત બળ અને બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ. આમ, નેટ વર્કમાં રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય અને બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે તેવું ગણી શકાય.
ડબલ્યુ સી + ડબલ્યુ એનસી = Δકેઇ
રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સ્થિતિજ ઊર્જામાં નકારાત્મક પરિવર્તન જેટલું છે:
ડબલ્યુ સી = -ΔPE
– ΔPE + W nc = ΔKE
ડબલ્યુ એનસી = ΔPE + ΔKE
ડબલ્યુએનસી = ΔME
ઉપરોક્ત સમીકરણ જણાવે છે કે કોઈ પદાર્થ પર બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું જ છે. યાંત્રિક ઊર્જા = સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જા + ગતિ ઊર્જા. સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જા ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જા અથવા સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિસ્થાપક ઊર્જાનું સ્વરૂપ લઈ શકે છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન: કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા પ્રમેય
2 કિલો વજનનું બોક્સ શરૂઆતમાં 10 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે આગળ વધે છે. થોડા સમય પછી, બોક્સ અટકી જાય છે. બોક્સ અને ફ્લોર વચ્ચે ગતિ ઘર્ષણનો ગુણાંક 0.2 છે. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ 2 છે . બોક્સનું વિસ્થાપન કેટલું છે?
ચર્ચા:
ઓળખાયેલ: m = 2 kg, v o = 10 m/s, vt = 0, k = 0.2, w = mg = (1 kg)(10 m/s 2 ) = 10 kg m/s 2 = 10 ન્યૂટન,
પૂછવામાં આવ્યું: બોક્સના વિસ્થાપનનું પ્રમાણ (ઓ)
કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા પ્રમેય:
ડબલ્યુ એનસી = ΔME
ડબલ્યુ એનસી = ΔPE + ΔKE
ઊંચાઈ (h) સ્થિર રહે છે અથવા ઊંચાઈમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
ડબલ્યુએનસી = Δકેઇ
ગતિ ઘર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે:
W nc = – f k s = μ k N -s = μ k w -s = μ k mg -s
W nc = – (0.2)(2)(10)(s) = – (4)(s)
ગતિ ઘર્ષણ બળ નકારાત્મક કાર્ય કરે છે (ગતિ ઘર્ષણ બળ પદાર્થના સ્થાનાંતરણથી વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે)
ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર:
ΔKE = 1⁄2 મીટર (v t 2 – v o 2 ) = 1⁄2 (2)(0 2 – 10 2 ) = (0 – 100) = – 100
પદાર્થનું વિસ્થાપન:
ડબલ્યુ એનસી = Δકેઇ
– (૪)(ઓ) = – ૧૦૦
s = – 100 / – 4 = 25 મીટર
કાર્ય-યાંત્રિક ઉર્જા સિદ્ધાંત વિશે 20 વૈચારિક પ્રશ્નો અને જવાબો:
૧. પ્રશ્ન: કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત શું છે? જવાબ: કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત જણાવે છે કે કોઈ વસ્તુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની યાંત્રિક ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે.
2. પ્રશ્ન: ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કાર્યને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે? જવાબ: કાર્યને પદાર્થ પર લાગુ કરાયેલા બળના ગુણાંક અને તે બળની દિશામાં તે જે અંતર ખસે છે તેના તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
૩. પ્રશ્ન: યાંત્રિક ઊર્જા શું બને છે? જવાબ: યાંત્રિક ઊર્જામાં પદાર્થની ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સમાવેશ થાય છે.
૪. પ્રશ્ન: બિન-રૂઢિચુસ્ત બળોની ગેરહાજરીમાં, બંધ પ્રણાલીની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા વિશે શું કહી શકાય? જવાબ: કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સ્થિર રહે છે.
૫. પ્રશ્ન: રૂઢિચુસ્ત બળનું ઉદાહરણ આપો. જવાબ: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ રૂઢિચુસ્ત બળનું ઉદાહરણ છે.
૬. પ્રશ્ન: સ્થિતિજ ઊર્જા ગતિજ ઊર્જાથી કેવી રીતે અલગ છે? જવાબ: સ્થિતિજ ઊર્જા એ સ્થિતિને કારણે થતી ઊર્જા છે, જેમ કે જમીનથી ઉપરની ઊંચાઈ, જ્યારે ગતિજ ઊર્જા ગતિને કારણે હોય છે.
7. પ્રશ્ન: રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સ્થિતિજ ઊર્જા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? જવાબ: રૂઢિચુસ્ત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય સ્થિતિજ ઊર્જામાં નકારાત્મક ફેરફાર સમાન છે.
9. પ્રશ્ન: કાર્ય-યાંત્રિક ઊર્જા સિદ્ધાંત મુક્ત-પડતા પદાર્થમાં સ્થિતિમાન ઊર્જાનું ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતર કેવી રીતે સમજાવે છે? જવાબ: જેમ જેમ કોઈ પદાર્થ પડે છે, તેમ તેમ તેની સ્થિતિમાન ઊર્જા ઘટે છે અને તેની ગતિ ઊર્જા સમાન પ્રમાણમાં વધે છે, જે કુલ યાંત્રિક ઊર્જાને સ્થિર રાખે છે.
૧૦. પ્રશ્ન: જ્યારે બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો, જેમ કે ઘર્ષણ, સિસ્ટમ પર કાર્ય કરે છે ત્યારે તેની યાંત્રિક ઊર્જાનું શું થાય છે? જવાબ: યાંત્રિક ઊર્જા ઘટે છે કારણ કે બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો ઊર્જાનો વિસર્જન કરે છે, ઘણીવાર ગરમી તરીકે.
૧૧. પ્રશ્ન: શું સિસ્ટમની યાંત્રિક ઊર્જા વધી શકે છે? જવાબ: હા, જ્યારે સિસ્ટમ પર બાહ્ય કાર્ય કરવામાં આવે છે.
૧૨. પ્રશ્ન: કાર્યનો ખ્યાલ ઊર્જા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? જવાબ: કાર્ય એ એક માધ્યમ છે જેના દ્વારા સિસ્ટમમાં ઊર્જાનું સ્થાનાંતરણ અથવા રૂપાંતર થાય છે.
૧૩. પ્રશ્ન: જો કોઈ પદાર્થ સતત ગતિએ ગતિ કરી રહ્યો હોય, તો તેના પર થયેલા કુલ કાર્ય વિશે શું કહી શકાય? જવાબ: તેના પર થયેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે કોઈ પ્રવેગ થઈ રહ્યો નથી.
૧૫. પ્રશ્ન: સંકુચિત સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિજ ઊર્જા કેમ હોય છે? જવાબ: જ્યારે સ્પ્રિંગને સંકુચિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર કાર્ય કરવામાં આવે છે, જે સ્થિતિજ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. જ્યારે સ્પ્રિંગને છોડી દેવામાં આવે છે ત્યારે આ ઊર્જા મુક્ત થઈ શકે છે.
૧૬. પ્રશ્ન: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય શું છે? જવાબ: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે પદાર્થ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે.
૧૭. પ્રશ્ન: શક્તિ કાર્ય સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? જવાબ: શક્તિ એ દર છે જેના પર કાર્ય કરવામાં આવે છે અથવા ઊર્જા સ્થાનાંતરિત થાય છે. તે તરીકે ગણવામાં આવે છે , જ્યાં કાર્ય છે અને સમય છે.
૧૮. પ્રશ્ન: શું કાર્યનું મૂલ્ય નકારાત્મક હોઈ શકે છે? જવાબ: હા, જ્યારે બળ અને ગતિની દિશા વિરુદ્ધ હોય ત્યારે કાર્ય નકારાત્મક હોય છે.
૧૯. પ્રશ્ન: જો બળ અને ગતિની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો ૯૦ ડિગ્રી હોય, તો શું કાર્ય થયું છે? જવાબ: કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે બળનો ગતિની દિશામાં કોઈ ઘટક નથી.
20. પ્રશ્ન: લીવર જેવું સાદું મશીન કામને કેવી રીતે સરળ બનાવે છે? જવાબ: લીવર કુલ કરેલા કાર્યમાં ફેરફાર કરતું નથી પરંતુ બળ લાગુ કરવાની રીતમાં ફેરફાર કરે છે, જેનાથી કાર્ય વધુ વ્યવસ્થિત અથવા કાર્યક્ષમ બને છે.
કાર્યનો ખ્યાલ અને યાંત્રિક ઉર્જા સિદ્ધાંત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મૂળભૂત છે અને વિવિધ પ્રણાલીઓમાં ઊર્જા કેવી રીતે સ્થાનાંતરિત અને રૂપાંતરિત થાય છે તેની પાયાની સમજ પૂરી પાડે છે.
