Foirmle Bernoulli: Prionnsabalan agus Cleachdaidhean
’S e bun-bheachd ann am meacanaig lionntan a th’ ann am prionnsabal Bernoulli, a chaidh a lorg le Daniel Bernoulli, neach-saidheans às an Eilbheis, san 18mh linn. Tha am prionnsabal seo a’ mìneachadh a’ cheangail eadar astar sruth lionntan agus an cuideam taobh a-staigh an t-sruth sin. Bruidhnidh an t-artaigil seo gu mionaideach air foirmle Bernoulli, a bun-bheachdan, toraidhean matamataigeach, eisimpleirean àireamhachaidh, agus a cleachdaidhean ann am beatha làitheil.
A’ Tuigsinn Foirmle Bernoulli
Tha foirmle Bernoulli ag ràdh, ann an sruthadh lionn air leth (gun suathadh), gu bheil an ìre de lùth meacanaigeach (lùth comasach, lùth cineatach, agus cuideam) gach aonad toirt seasmhach tron t-sruth. Tha am foirmle seo air a ràdh mar:
[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \]
Càite:
– \(P \) 's e cuideam an leaghan (ann am pascalan, Pa),
– \( \rho \) 's e dùmhlachd an leaghan (ann an cileagraman gach meatair ciùbach, kg/m³),
– \(v \) 's e astar sruthadh an leaghan (ann am meatairean gach diog, m/s),
– ’S e \(g \) an luathachadh air sgàth grabhataidh (ann am meatairean gach diog ceàrnagach, m/s²),
– Is e \(h \) àirde an leaghan os cionn an iomraidh (ann am meatairean, m).
Prionnsabal Bernoulli
Tha prionnsabal Bernoulli stèidhichte air lagh glèidhteachais lùtha. Ann an sruthadh lionn, feumaidh an lùth iomlan ann an siostam fuireach seasmhach mura tèid lùth a chur ris an t-siostam no a thoirt air falbh bhon t-siostam. Tha an lùth iomlan gach aonad toirte air a dhèanamh suas de:
1. Lùth Brùthaidh (\(P \)): Lùth air adhbhrachadh le cuideam lionn.
2. Lùth Cinneadach (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Lùth air adhbhrachadh le gluasad leaghan.
3. Lùth Comasach Grabhalta (\( \rho gh \)): Lùth air adhbhrachadh le suidheachadh lionn ann an raon grabhalta.
Toradh Matamataigeach Foirmle Bernoulli
Gus tuigse fhaighinn air mar a thàinig Foirmle Bernoulli a-mach, beachdaichidh sinn air eileamaid bheag de lionn a’ gluasad ann an sruth le astar _(v \) bho phuing 1 gu puing 2. Mura gabh sinn ris nach eil call lùtha ann mar thoradh air suathadh no teas, feumaidh an lùth iomlan aig puingean 1 agus 2 a bhith mar an ceudna.
Is e an lùth iomlan aig puing 1 (\( E_1 \)):
[E₂ = P₂ + \frac{1}{1} \rho v₂^1 + \rho gh₂ \]
Is e an lùth iomlan aig puing 2 (\( E_2 \)):
[E₂ = P₂ + \frac{1}{2} \rho v₂^2 + \rho gh₂ \]
Leis gum feum an lùth iomlan a bhith seasmhach:
[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Is e seo a chanar ri Foirmle Bernoulli.
Eisimpleir de Àireamhachadh a’ cleachdadh Foirmle Bernoulli
Abair gu bheil pìob chòmhnard againn le uisge a’ sruthadh bho phuing A gu puing B. Aig puing A, tha astar an uisge 2 m/s agus tha an cuideam 150,000 Pa. Aig puing B, tha astar an uisge 4 m/s. Tha dùmhlachd an uisge 1000 kg/m³. Obraich a-mach an cuideam aig puing B.
Cleachd Foirmle Bernoulli:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Leis gu bheil am pìob còmhnard, \( h_A = h_B \), agus mar sin faodar \( \rho gh \) aig an dà phuing a dhearmad:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Cuir na luachan aithnichte an àite:
[150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Obraich a-mach an lùth cineatach aig an dà phuing:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[P_B = 152,000 – 8000 \]
[P_B = 144,000, Pa]
Mar sin, tha an cuideam aig puing B 144,000 Pa.
Cur an sàs Prionnsabal Bernoulli
1. Plèanaichean: Tha prionnsabal Bernoulli air a chleachdadh ann an dealbhadh sgiathan phlèanaichean. Tha cumadh sgiath phlèana air a dhealbhadh gus am bi astar an adhair os cionn na sgiath nas motha na fo na sgiath. Tha seo ag adhbhrachadh cuideam nas ìsle os cionn na sgiath agus cuideam nas àirde fo na sgiath, a’ cruthachadh an togail a leigeas leis an itealan itealaich.
2. Carbadan Rèisidh: Bidh dealbhadh aerodynamic charbadan rèisidh a’ cleachdadh Prionnsabal Bernoulli gus astar agus seasmhachd a mheudachadh. Bithear a’ cleachdadh spoilers agus diffusers gus sruth-adhair a riaghladh, ag àrdachadh feachd sìos, a leasaicheas tarraing a’ charbaid air an rathad.
3. Sruthadh Fala sa Chorp: Tha Prionnsabal Bernoulli cuideachd a’ buntainn ri sruthadh fala tro shoithichean fala. Faodar sgrùdadh a dhèanamh air eadar-dhealachaidhean ann an astar agus cuideam sruthadh fala ann an diofar phàirtean den bhodhaig gus tinneasan meidigeach a dhearbhadh.
4. Meatair Venturi: Inneal a thathar a’ cleachdadh gus ìre sruthadh lionn ann am pìob a thomhas. Tha earrann chumhang aig meatair Venturi, a dh’adhbhraicheas àrdachadh ann an astar sruthadh lionn agus lùghdachadh ann am bruthadh a rèir Prionnsabal Bernoulli. Thathar a’ cleachdadh an eadar-dhealachaidh cuideim eadar na h-earrannan leathann is cumhang gus an ìre sruthadh obrachadh a-mach.
5. Spraeirean Cùbhraidh: Bidh spraeirean cùbhraidh no spraeirean leaghaidh a’ cleachdadh prionnsapal Bernoulli. Nuair a thèid èadhar a shèideadh tro phìob chumhang, bidh cuideam an èadhair timcheall ceann an tiùba a’ lùghdachadh, a’ tarraing an leaghan cùbhraidh suas tron tiùb agus ga spraeadh mar cheò mìn.
Factaran a bheir buaidh air cleachdadh Prionnsabal Bernoulli
1. Suathadh: Ann an da-rìribh, chan eil lionntan freagarrach agus bidh suathadh a-staigh (slaodachd) ann an-còmhnaidh a dh’ adhbharaicheas call lùtha. Tha seo a’ dèanamh cleachdadh Prionnsabal Bernoulli nas iom-fhillte.
2. Compressibility Fluid: Tha e nas fhasa prionnsabal Bernoulli a chur an sàs ann an lionntan neo-compressibile (leithid uisge). Airson gasaichean no lionntan compressibile, feumar an co-aontar atharrachadh.
3. Aimhreit: Tha prionnsabal Bernoulli a’ buntainn ri sruth laminar (cunbhalach). Ann an sruth aimhreit (neo-riaghailteach), bidh an anailis nas iom-fhillte.
Sgrùdadh Cùise: Cleachdadh Prionnsabal Bernoulli ann an Dealbhadh Sgiathan Itealain
’S e dealbhadh sgiath itealain eisimpleir clasaigeach de Phrionnsabal Bernoulli ann an gnìomh. Leigidh cumadh mullach lùbte agus bonn rèidh na sgiath le èadhar sruthadh nas luaithe thairis air an sgiath na foidhpe. A rèir Prionnsabal Bernoulli, bidh astar sruth-adhair nas àirde thairis air an sgiath a’ toirt a-mach cuideam nas ìsle na foidhpe. Bidh an diofar cuideam seo a’ cruthachadh an fheachd togail a leigeas leis an itealan itealaich.
Ma tha farsaingeachd sgiath de 25 m² aig plèana, tha astar an adhair os cionn na sgiath 70 m/s, agus fo na sgiath tha e 50 m/s. Tha dùmhlachd an adhair 1.225 kg/m³. Obraich a-mach an togail a thig às.
1. Obraich a-mach an diofar cuideam (\( ΔP \)) a’ cleachdadh Foirmle Bernoulli:
[P_{bonn} – P_{àrd} = \frac{1}{2} \rho (v_{àrd}^2 – v_{bonn}^2) \]
Cuir na luachan aithnichte an àite:
[ΔP = (1/2) × 1.225 (70² – 50²)]
[ΔP = 1/2 × 1.225 (4900 – 2500)]
[ΔP = 1/2 × 1.225 × 2400]
[ΔP = 1.225 × 1200]
[ΔP = 1470, Pa]
2. Obraich a-mach an fheachd togail (\( F_{togail} \)):
[F_{togail} = ΔP uair A]
[F_{togail} = 1470, \text{Pa} \times 25, \text{m}^2 \]
\[ F_{togail} = 36,750 \, \text{
N} \]
Mar sin, is e 36,750 niùtan an fheachd togail a thig às.
Co-dhùnadh
’S e Prionnsabal Bernoulli aon de bhunaitean meacanaig lionntan, a’ mìneachadh a’ cheangail eadar astar sruthadh lionntan agus cuideam. Le bhith a’ tuigsinn agus a’ cur Foirmle Bernoulli an sàs, is urrainn dhuinn grunn shiostaman a tha a’ toirt a-steach sruthadh lionntan a sgrùdadh agus a dhealbhadh, bho itealain gu meatairean sruthadh. Ged a dh’fheumas sinn gu tric beachdachadh air factaran leithid suathadh agus aimhreit ann an cleachdadh, tha Prionnsabal Bernoulli fhathast na inneal riatanach ann a bhith a’ tuigsinn daineamaigs lionntan agus a’ dealbhadh fhuasglaidhean innleadaireachd èifeachdach.
