Modh Trapezoideach ann an Integrealan
Ann am matamataig gnìomhaichte, bidh sinn tric a’ tighinn tarsainn air an duilgheadas a thaobh obrachadh a-mach an raon fo lùb. Ann an teòiridh, faodar seo fhuasgladh le bhith a’ cleachdadh iomlaidean cinnteach. Ach, ann an cleachdadh, chan eil a h-uile gnìomh furasta a thoirt a-steach gu hanailiseach. Tha cuid de ghnìomhan iom-fhillte, chan eil dàta ri fhaighinn ach ann an cruth clàir, no tha dìth frith-thoraidhean sìmplidh ann am modalan. Ann an suidheachaidhean mar seo, bidh dòighean àireamhach riatanach. Is e aon de na dòighean àireamhach as aithnichte agus as trice a thathas a’ cleachdadh an riaghailt trapesoidal, dòigh tuairmseachaidh airson iomlaidean a bhios a’ roinn an raon fo lùb ann an cumaidhean trapesoidal.
Bun-bheachd Bunasach air Integral Deimhinnte
Gu geoimeatrach, faodar an t-integral cinnteach \(\int_a^bf(x)\,dx\) a thuigsinn mar an raon air a chuartachadh leis a’ lùb \(y=f(x)\), an axis \(x\), agus na loidhnichean dìreach \(x=a\) agus \(x=b\). Ma tha \(f(x)\ge 0\), tha an t-integral na raon dearbhach. Ma tha luachan àicheil aig a’ ghnìomh air raon sònraichte, bheir an t-integral “raon le ainm-sgrìobhte”.
Bidh am prìomh dhuilgheadas ag èirigh nuair:
1. Chan eil frith-thoradh aig a’ ghnìomh \(f(x)\) a ghabhas a chur an cèill le gnìomhan bunaiteach.
2. Chan eil fios air luach \(f(x)\) ach aig puingean sònraichte (dàta deuchainneach).
3. Tha àireamhachadh samhlachail neo-èifeachdach no do-dhèanta.
Seo far a bheil an dòigh trapesoidal ga cleachdadh gus tuairmse a dhèanamh air an luach iomlan le bhith a’ cleachdadh luachan na gnìomh aig puingean sònraichte.
Beachd air an dòigh-obrach trapezoidal
Bidh an dòigh-obrach trapesoidal a’ tòiseachadh le beachd sìmplidh: tuairmseachadh lùb le loidhne dhìreach aig gach fo-eadar-ama. Ged a bhios dòigh-obrach suim Riemann a’ cleachdadh taobhan ceart-cheàrnach agus raon ceart-cheàrnach, bidh an dòigh-obrach trapesoidal a’ cleachdadh dà cheann-phuing air an fho-eadar-ama agus gan ceangal le loidhne dhìreach. Bidh an raon fon loidhne dhìreach a’ cruthachadh trapesoid, chan e ceart-cheàrnach.
Abair gu bheil sinn airson obrachadh a-mach:
\[
\int_a^bf(x)\,dx
\]
Bidh sinn a’ roinn an eadar-ama _([a,b]_) ann an _(n) fo-eadar-ama den aon fhaid. Is e fad gach fo-eadar-ama:
\[
h=\frac{ba}{n}
\]
Puingean roinneadh:
\[
x_0=a,\;x_1=a+h,\;x_2=a+2h,\;\dotagan,\;x_n=b
\]
Le luachan gnìomh:
\[
f(x_0), f(x_1), ∫, f(x_n)
\]
Air gach fo-eadar-ama \([x_{i-1}, x_i]\), tha an raon fon lùb air a thomhas le raon an trapesoid:
\[
A_i \approx \frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
An uairsin gheibhear an raon iomlan (tuairmse iomlan) le bhith a’ cur nan trapesoidan uile ri chèile:
\[
∫_a^bf(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{h}{2}\left[f(x_{i-1}) + f(x_i)\right]
\]
Ma thèid a ghlanadh, bidh foirmle riaghailt trapesoidal co-thàthaichte a’ fàs mar a leanas:
\[
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]
\]
Thoir an aire don phàtran co-èifeachd: tha na puingean crìochnachaidh \(x_0\) agus \(x_n\) air an iomadachadh le 1, agus tha na puingean sa mheadhan air an iomadachadh le 2.
Eisimpleir Àireamhachaidh Shìmplidh
Abair gu bheil sinn airson a dhol faisg air:
\[
\int_0^2 x^2\,dx
\]
Gu hanailiseach, is e an t-integral \(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\frac{8}{3}\approx 2{,}6667\). Ach, cleachdaidh sinn an dòigh trapesoidal le \(n=4\).
1. Eadar-ama \([0,2]\), an uairsin:
\[
h=\frac{2-0}{4}=0{,}5
\]
2. Titik-titik: \(x_0=0\), \(x_1=0{,}5\), \(x_2=1\), \(x_3=1{,}5\), \(x_4=2\)
3. Luach gnìomh:
\(f(0)=0\)
\(f(0{,}5)=0{,}25\)
\(f(1)=1\)
\(f(1{,}5)=2{,}25\)
\(f(2)=4\)
Cleachd foirmle an trapesoid cho-thàthaichte:
\[
T=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+2f(x_3)+f(x_4)\right]
\]
\[
T=\frac{0{,}5}{2}\left[0+2(0{,}25)+2(1)+2(2{,}25)+4\right]
\]
\[
T=0{,}25\left[0{,}5+2+4{,}5+4\right]=0{,}25(11)=2{,}75
\]
Tha an toradh tuairmseach de 2,75 gu math faisg air an luach ceart de 2,6667, le mearachd de mu 0,0833.
Mearachd anns an dòigh-obrach trapesoidal
’S e dòigh tuairmseachaidh a th’ anns an dòigh trapesoidal, a’ ciallachadh gu bheil eadar-dhealachadh an-còmhnaidh eadar an luach tuairmseach agus an luach iomlan fhèin. Tha buaidh aig:
1. Àireamh fo-eadar-ama _(n_): mar as motha _(n_), ’s ann as lugha _(h_), agus san fharsaingeachd ’s ann as cruinne na toraidhean.
2. Lùb na gnìomh: ma tha an gnìomh glè lùbte (le dàrna tùs mòr aice), is dòcha nach bi an dòigh trapesoidal cho ceart ri dòighean òrdugh nas àirde.
Airson gnìomhan rèidh gu leòr (le dàrna toraidhean leantainneach), faodar mearachd an dòigh trapesoidal co-thàthaichte a thomhas:
\[
E_T = -\ frac{(ba)}{12}h^2 f”(\xi)
\]
airson cuid de \(\xi\) eadar \(a\) agus \(b\). Bhon fhoirmle seo chithear gu bheil am mearachd co-rèireach ri \(h^2\). 'S e sin, ma lughdaicheas sinn \(h\) ann an leth (i.e., ma dhùblaicheas sinn an àireamh de fho-eadar-ama), thèid am mearachd a lùghdachadh le timcheall air cairteal.
Buannachdan an dòigh-obrach trapezoidal
Tha an dòigh trapezoidal mòr-chòrdte airson grunn adhbharan:
1. Simplidh agus luath
Tha an àireamhachadh gu math furasta, agus faodar a dhèanamh le làimh eadhon airson cùisean beaga.
2. Freagarrach airson dàta clàrach
Ma tha luach \(f(x)\) aithnichte aig puingean fa leth a-mhàin (m.e. toraidhean tomhais), faodar an dòigh seo a chur an sàs gu dìreach.
3. Cruinneas nas fheàrr na an dòigh cheart-cheàrnach
Leis gu bheil e a’ cleachdadh dà cheann-phuing agus a’ tuairmseachadh an gnìomh le loidhne dhìreach, tha e san fharsaingeachd nas cruinne na an tuairmse ceart-cheàrnach airson an aon àireamh de roinnean.
4. Seasmhach airson mòran thagraidhean innleadaireachd
Faodar dèiligeadh ri mòran dhuilgheadasan fiosaigs is innleadaireachd (m.e. obrachadh a-mach obair, lùth, farsaingeachd thar-roinneil, sgaoileadh, agus mar sin air adhart) leis an dòigh seo.
Teòraidhean an Dòigh Trapezoidal
Ged a tha an dòigh seo feumail, tha crìochan ann cuideachd:
1. Nas lugha ceart airson gnìomhan lùbte gu mòr
Leis nach eil e a’ cleachdadh ach tuairmse loidhneach air gach fo-eadar-ama, feumaidh gnìomhan le atharrachaidhean luath no lùban biorach \(n\) mòr.
2. Chan e dòigh àrd-òrdugh a th’ ann
Mearachdan de dh’òrdugh \(h^2\); faodaidh dòighean eile leithid Simpson mearachdan nas lugha a thoirt seachad thairis air an aon àireamh de fho-eadar-amaichean (fhad ‘s a tha an gnìomh rèidh gu leòr).
3. Mothachail air taghadh eadar-ama
Ma tha an t-eadar-ama ro fharsaing agus \(n\) beag, faodaidh na toraidhean a bhith gu math eadar-dhealaichte.
Penutup
’S e an dòigh trapesoidal airson amalachadh aon de na dòighean as bunaitiche ann an amalachadh àireamhach. Le bhith a’ roinn eadar-ama ann am pàirtean beaga agus a’ cur loidhne dhìreach an àite a’ lùb aig gach pàirt, is urrainn dhuinn an t-iomlan a thomhas gun a bhith a’ lorg an fhrith-thoradh gu hanailiseach. Tha am foirmle sìmplidh, furasta a chur an gnìomh, agus gu sònraichte feumail nuair a tha an dàta neo-sgaraichte no ma tha an gnìomh duilich a amalachadh.
Ach, feumaidh luchd-cleachdaidh an dòigh trapesoidal aire a thoirt do àireamh nan fo-eadar-ama agus giùlan na gnìomh a thathar ag amalachadh. Airson gnìomhan lùbte gu mòr no nuair a tha feum air mionaideachd àrd, faodar an dòigh trapesoidal a chleachdadh fhathast le bhith ag àrdachadh \(n\), no faodar beachdachadh air dòighean àireamhach eile leithid dòighean Simpson no Romberg. Le deagh thuigse, bidh an dòigh trapesoidal na inneal èifeachdach agus practaigeach airson diofar dhuilgheadasan amalaichte fhuasgladh ann an saidheans, innleadaireachd agus eaconamas.
