Teòiridh Phrìomh Àireamhan
’S e prìomh àireamhan aon de na nithean as sìmplidh ach as dìomhaire ann am matamataig. Sìmplidh leis gu bheil am mìneachadh soilleir: ’s e àireamh shlàn nas motha na 1 a th’ ann am prìomh àireamh aig nach eil ach dà roinneadair dheimhinneach: 1 agus i fhèin. Dìomhair leis gu bheil, a dh’aindeoin a bhith air an sgrùdadh airson mìltean de bhliadhnaichean, mòran cheistean bunaiteach mu phrìomh àireamhan fhathast gun fhreagairt chun an latha an-diugh. Thathas gu tric a’ bruidhinn air a’ mheur de mhatamataig a bhios a’ sgrùdadh feartan, pàtrain agus sgaoileadh phrìomh àireamhan ann an teòiridh àireamhan, agus tha an cuspair seo aithnichte gu farsaing mar theòiridh prìomh àireamhan.
Mìneachadh agus Eisimpleirean de Phrìomh Àireamhan
Bidh prìomh àireamhan a’ tòiseachadh le 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, agus mar sin air adhart. Bhon liosta seo, chì sinn gur e 2 an aon phrìomh àireamh chothromach. Tha na h-àireamhan cothromach eile uile ri roinn le 2, agus mar sin tha barrachd air dà roinneadair aca agus chan urrainnear an ainmeachadh mar phrìomh àireamhan.
Is e àireamh cho-dhèanta a tha na chaochladh de phrìomh àireamh, is e sin slàn-àireamh nas motha na 1 aig a bheil barrachd air dà roinneadair. Mar eisimpleir, tha roinneadairean 1, 2, agus 4 aig 4; tha roinneadairean 1, 2, 3, 4, 6, agus 12 aig 12. Chan eil an àireamh 1 na prìomh no na àireamh cho-dhèanta, leis nach eil ach aon roinneadair aice, 1.
Tha e cudromach tuigse fhaighinn air prìomh àireamhan oir canar “blocaichean togail” nan slàn-àireamhan riutha gu tric. Faodar gach slàn-àireamh nas motha na 1 a bhriseadh sìos gu toradh de phrìomh àireamhan.
Teòirimean Bunasach Àireamhachd
Is e aon de na toraidhean as cudromaiche ann an teòiridh nam prìomh àireamhan Teoirim Bhunasach na h-Àireamhachd. Tha an teòirim seo ag ràdh gum faodar gach slàn-àireamh nas motha na 1 a sgrìobhadh mar thoradh sònraichte de phrìomh àireamhan, suas gu òrdugh a fhactaran.
Eisimpleir:
– 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
– 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
’S e an sònraichteachd seo de fhactarachadh phrìomhan bunait mòran bhun-bheachdan matamataigeach, bho roinneadh, an iomadaiche cumanta as lugha (LCM), am bàillidh cumanta as motha (GCF), gu diofar algairidhean ann an saidheans coimpiutaireachd.
Mar a dh’aithnicheas tu prìomh àireamhan
Tha grunn dhòighean ann airson faighinn a-mach a bheil àireamh na prìomh àireamh. Is e an dòigh as bunaitiche sgrùdadh a dhèanamh a bheil an àireamh ri roinn le àireamh sam bith eile seach 1 agus i fhèin. Ach, chan eil an dòigh seo èifeachdach airson àireamhan mòra.
Is e dòigh nas èifeachdaiche sgrùdadh a dhèanamh air na roinneadairean suas gu freumh ceàrnagach na h-àireimh. Mura h-eil factaran aig àireamh n ach 1 agus n, chan eil co-dhiù aon de na factaran nas àirde na √n. Mar eisimpleir, gus sgrùdadh a dhèanamh a bheil 97 na phrìomh àireamhan, dìreach dèan deuchainn air a roinneadh leis na prìomh àireamhan ≤ √97 (timcheall air 9,8), is iad sin 2, 3, 5, agus 7. Leis nach eil 97 ri roinneadh le gin de na ceithir sin, tha e na phrìomh àireamhan.
A bharrachd air sin, tha dòighean clasaigeach ann leithid Criathar Eratosthenes, a tha èifeachdach airson a h-uile prìomh àireamh a lorg suas gu crìoch sònraichte. Tha an dòigh a’ toirt a-steach liostadh nan àireamhan uile bho 2 gu N, agus an uairsin comharrachadh nan iomadan de 2, iomadan de 3, iomadan de 5, agus mar sin air adhart. Is e prìomh àireamhan a th’ anns na h-àireamhan gun chomharradh.
Pàtrain agus Sgaoileadh Phrìomh Àireamhan
Is e aon de na rudan a tha a’ dèanamh prìomh-àireamhan inntinneach an sgaoileadh a tha coltach ri bhith air thuaiream. Chan eil pàtran sìmplidh ann a bheir a-mach a h-uile prìomh-àireamh sa bhad. Aig amannan bidh prìomh-àireamhan a’ nochdadh faisg air a chèile, mar 11 agus 13, no 17 agus 19, ach an uairsin faodaidh an t-astar eatorra fàs nas motha.
Is e ceist chudromach ann an teòiridh prìomh àireamhan: “Dè cho tric ’s a thachras prìomh àireamhan?” Gus seo a fhreagairt, leasaich matamataigich Teoirim nam Prìomh àireamhan. Tha an teòirim seo ag ràdh gu bheil an àireamh de phrìomh àireamhan nas lugha na no co-ionann ri n, sgrìobhte mar π(n), co-ionann ri n / ln(n). Tha seo a’ ciallachadh, mar a bhios n ag àrdachadh, gum bi prìomh àireamhan nas teirce, ach bidh iad a’ leantainn air adhart a’ tachairt gu bràth.
Mar eisimpleir, airson n glè mhòr, tha coltachd gum bi àireamh air thuaiream timcheall air n na prìomh-àireamh timcheall air 1/ln(n). Tha seo a’ toirt sealladh farsaing staitistigeil air sgaoileadh phrìomh-àireamhan.
Prìomh Àireamhan Càraid agus Barailean Ainmeil
Is e paidhrichean de phrìomh àireamhan càraid aig a bheil an diofar 2, leithid (3, 5), (11, 13), (17, 19), agus mar sin air adhart. Is e ceist mhòr a tha fhathast fosgailte an-diugh Barail nan Prìomh àireamhan Càraid: “A bheil àireamh neo-chrìochnach de phrìomh àireamhan càraid ann?” A dh’aindeoin mòran fianais thaiceil agus adhartas mòr anns na deicheadan mu dheireadh, chan eil am barail seo air a dhearbhadh gu h-iomlan.
A bharrachd air sin, tha Barail Goldbach ann, a tha ag ràdh gum faodar gach àireamh chothromach nas motha na 2 a sgrìobhadh mar suim dà phrìomh àireamh. Mar eisimpleir:
– 10 = 3 + 7
– 28 = 11 + 17
– 100 = 47 + 53
Chaidh a’ bharail seo a dhearbhadh airson àireamhan glè mhòr agus tha e an-còmhnaidh fìor fo na deuchainnean sin, ach chan eil dearbhadh foirmeil iomlan ann fhathast.
Dreuchd Phrìomh Àireamhan ann an Crioptagrafaireachd Nuadh-aimsireil
A bharrachd air matamataig fhìor-ghlan, tha prìomh àireamhan a’ cluich pàirt chudromach ann am beatha an latha an-diugh, gu sònraichte ann an tèarainteachd fiosrachaidh. Tha an siostam crioptachaidh RSA, aon de na dòighean crioptachaidh as ainmeile, an urra ri cho duilich ‘s a tha e àireamhan mòra a roinn ann am prìomh fhactaran. Ann an RSA, faodar iuchair phoblach a chruthachadh bho thoradh dà phrìomh àireamh mhòr. Tha lughdachadh an toraidh seo gu na dà phrìomh àireamh thùsail aige na dhuilgheadas glè dhoirbh ma tha na h-àireamhan mòr gu leòr, agus mar sin a’ toirt seachad bunait airson tèarainteachd.
Ann am faclan eile, chan e a-mhàin gu bheil bòidhchead nam prìomh àireamhan teòiridheach ach cuideachd practaigeach, oir bidh iad a’ cuideachadh le bhith a’ cumail suas tèarainteachd ghnothaichean didseatach, conaltradh crioptaichte, agus iomlaid dàta dìomhair air an eadar-lìon.
Penutup
’S e teòiridh nam prìomh àireamhan aon de na raointean as beairtiche ann am matamataig. Bho mhìneachadh sìmplidh air prìomh àireamh, ruigidh sinn bun-bheachdan domhainn leithid factarachadh gun samhail, teòirim an t-sgaoilidh phrìomh àireamh, agus eadhon barailean gun fhuasgladh. Tha prìomh àireamhan fhathast gar tàladh leis gu bheil iad a’ dol thairis air a’ chrìch eadar òrdugh agus neo-riaghailteach: a rèir coltais gun phàtran, ach a’ gèilleadh do laghan matamataigeach domhainn.
Chan eil sgrùdadh a dhèanamh air prìomh àireamhan dìreach mu bhith a’ faighinn a-mach dè na h-àireamhan a tha nam prìomh àireamhan agus dè nach eil, ach cuideachd mu bhith a’ tuigsinn mar a tha iad air an “sgaoileadh” am measg nan slàn-àireamhan, carson a tha iad a’ cluich pàirt cho bunaiteach, agus mar a tha iad a’ toirt buaidh air teicneòlas an latha an-diugh. Air an adhbhar seo, tha teòiridh prìomh àireamhan fhathast mar aon de na cuspairean as gnìomhaiche agus as inntinniche do dh’ oileanaich matamataig, tidsearan agus luchd-rannsachaidh chun an latha an-diugh.
