Mion-sgrùdadh Vector ann am Fànais
'S e meur de mhatamataig a th' ann an sgrùdadh vectaran ann am fànais a tha ag amas air sgrùdadh vectaran agus an obrachaidhean ann an fànais trì-thaobhach (3D). 'S e meud a th' ann am vectar aig a bheil meud agus stiùireadh, eu-coltach ri scalar, aig nach eil ach meud. Bithear a' cleachdadh vectaran ann am fànais ann an raon farsaing de chuspairean, bho fiosaig gu saidheans coimpiutaireachd, agus tha iad nan innealan riatanach ann am mion-sgrùdadh geoimeatrach, cineamataigs, agus daineamaigs.
Bun-bheachd nam Vectaran
Faodar vectar ann an àite trì-thaobhach a chur an cèill mar v = (v₁, v₂, v₃), far a bheil v₁, v₂, agus v₃ nan co-phàirtean den vectar anns na stiùiridhean x, y, agus z, fa leth. Is e saighead air a tharraing bhon tùs (0, 0, 0) chun a’ phuing (v₁, v₂, v₃) a th’ ann an riochdachadh grafaigeach vectar. Faodar fad vectar (meud) obrachadh a-mach leis an fhoirmle:
\[ \\ \mathbf{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]
Obrachaidhean Bunasach air Vectaran
1. Cur-ris agus Toirt-às
Faodar dà vectar u = (u₁, u₂, u₃) agus v = (v₁, v₂, v₃) a chur ri chèile no a thoirt air falbh le bhith a’ cur ri chèile no a’ toirt air falbh na co-phàirtean aca:
\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) \]
\[ \mathbf{u} – \mathbf{v} = (u_1 – v_1, u_2 – v_2, u_3 – v_3) \]
2. Iomadachadh le Scalar
Ma tha c na sgalar (àireamh fhìor), is e iomadachadh a’ vectar v leis an sgalar c:
\[ c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, cv_3) \]
3. Toradh Dot
'S e sgalar a th' anns an toradh dot eadar dà vectar u agus v, air a mhìneachadh mar:
[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
Tha an toradh dotaig seo cuideachd ag innse a bheil dà vectar co-shìnte, leis gu bheil toradh dotaig aig dà vectar ceart-cheàrnach (ceart-cheàrnach) co-ionann ri neoni.
4. Tar-thoradh
Bidh toradh-croise dà vectar u agus v a’ cruthachadh vectar ùr a tha ceart-cheàrnach ris an dà chuid. Tha e air a chur an cèill mar:
[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left( u_2v_3 – u_3v_2, u_3v_1 – u_1v_3, u_1v_2 – u_2v_1 \deas) \]
Tagraidhean Mion-sgrùdadh Vector
1. Cineamataigs
Ann an cineamataigs, thathar a’ toirt cunntas air gluasad nì le bhith a’ cleachdadh vectaran suidheachaidh, astair, agus luathachaidh. Mar eisimpleir, ma tha nì a’ gluasad ann an àite 3D, faodar a shuidheachadh aig àm t a mhìneachadh leis a’ vectar suidheachaidh r(t). ’S e astar an nì an t-atharrachadh den vectar suidheachaidh a thaobh ùine:
[\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \]
Ged is e luathachadh an t-atharrachadh den vectar astair:
[\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} \]
2. Daineamaigs
Ann an daineamaigs, bidh mion-sgrùdadh vectar gu tric air a chleachdadh gus na feachdan a tha ag obair air nì obrachadh a-mach. Mar eisimpleir, faodar an dàrna lagh aig Newton a chur an cèill ann an cruth vectar mar:
\[ \mathbf{F} = m\mathbf{a} \]
far a bheil F na fheachd lom a tha ag obair air an nì le mais m, agus a na luathachadh an nì.
3. Dealan-mhagnaiteachd
Bidh dealan-mhagnetachd cuideachd a’ dèanamh feum farsaing de mhion-sgrùdadh vectar. Mar eisimpleir, tha an raon dealain E agus an raon magnetach B le chèile nan vectaran a tha an urra ris an t-suidheachadh aca san fhànais. Tha co-aontaran Maxwell, a tha a’ toirt cunntas air mar a bhios raointean dealain is magnetach ag atharrachadh, nan co-aontaran eadar-dhealaichte ann an cruth vectar.
4. Grafaigean Coimpiutair
Ann an grafaigean coimpiutair agus beòthachadh, thathas a’ cleachdadh vectaran gus suidheachadh, treòrachadh agus sgèile nithean ann an àite trì-thaobhach a riochdachadh. Bithear a’ cur cruth-atharrachaidhean geoimeatrach leithid eadar-theangachadh, rothladh agus sgèileadh an sàs anns na nithean sin le bhith a’ cleachdadh matraisean cruth-atharrachaidh a bhios ag obair air vectaran suidheachaidh phuingean an nì.
Cruth-atharrachadh Lìnearach
'S e gnìomh a th' ann an cruth-atharrachadh loidhneach a mhapaicheas vectar gu vectar eile san aon àite, ann an dòigh loidhneach. Faodar an cruth-atharrachadh seo a riochdachadh le maitrís. Ma tha T na chruth-atharrachadh loidhneach agus gur e A a mhaitris. Ma tha v na vectar, faodar an cruth-atharrachadh loidhneach a sgrìobhadh mar:
[T(\mathbf{v}) = \mathbf{A} \mathbf{v}]
Tha cruth-atharrachaidhean loidhneach a’ toirt a-steach rothladh, meòrachadh, leudachadh, agus sgoltadh.
Maitrís Cruth-atharrachaidh
Faodar gach cruth-atharrachadh loidhneach a riochdachadh le maitrís. Seo eisimpleirean de mhaitrisean cruth-atharrachaidh:
1. Cuairteachadh
Tha rothladh timcheall air an axis-z le ceàrn θ air a chur an cèill leis a’ mhaitris:
\[
\mathbf{R}_z(\theta) = \tòisich{pmatrix}
cos − heta & -sin − heta & 0
sin − heta & cos − heta & 0
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
2. Meòrachadh
Tha meòrachadh anns a’ phlèana xy air a chur an cèill leis a’ mhaitris:
\[
R_xy = pmatrix
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\]
3. Sgèile
Tha an cruth-atharrachadh sgèile le factar s anns a h-uile taobh (isotropic) air a chur an cèill leis a’ mhaitriceas:
\[
S(s) = pmatrix
s & 0 & 0 \\
0 & s & 0 \\
0 & 0 & s
\end{pmatrix}
\]
Vectaran-fearainn agus Luachan-fearainn
Ann an co-theacsa cruth-atharrachaidhean loidhneach, tha vectaran-dìgheil agus luachan-dìgheil nan bun-bheachdan cudromach. Ma tha A na mhaitris cruth-atharrachaidh loidhneach, λ na luach-dìgheil agus v na vectar-dìgheil, an uairsin:
\[ \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]
Is e vectar fhèin vectar aig a bheil an stiùireadh agus an sgèile air an gleidheadh às dèidh cruth-atharrachaidh, agus is e luach fhèin factar den sgèile sin. Leigidh mion-sgrùdadh vectaran fhèin agus luachan fhèin leinn feartan maitrísean agus cruth-atharrachaidhean loidhneach iom-fhillte a thuigsinn.
Co-dhùnadh
’S e inneal cumhachdach is ioma-chruthach a th’ ann an mion-sgrùdadh vectar ann am matamataig agus saidheans. Le bhith a’ tuigsinn obrachaidhean bunaiteach vectar agus na cleachdaidhean aca, is urrainn dhuinn measgachadh farsaing de dhuilgheadasan fhuasgladh ann am fiosaig, innleadaireachd, grafaigean coimpiutair, agus mòran raointean eile. Le bhith a’ maighstireachd bun-bheachdan cruth-atharrachaidhean loidhneach, toraidhean dot, toraidhean tarsainn, agus vectaran fhèin agus luachan fhèin, leigidh sin leinn siostaman glè iom-fhillte a sgrùdadh agus a mhodaladh gu h-èifeachdach agus gu farsaing.
