Gnìomh Sgaoilidh Binomial: Mìneachadh Iomlan agus Tagraidhean
’S e an sgaoileadh dà-thaobhach aon de na sgaoilidhean coltachd sgarach as cumanta a thathas a’ cleachdadh ann an staitistig agus coltachd. Bidh an sgaoileadh seo a’ modaladh an àireamh de shoirbheasan ann an sreath de dheuchainnean co-ionann, neo-eisimeileach, far a bheil dà thoradh a dh’ fhaodadh a bhith aig gach deuchainn: soirbheachas no fàilligeadh. San artaigil seo, nì sinn sgrùdadh domhainn air mìneachadh, foirmle, feartan agus tagraidhean gnìomh an t-sgaoilidh dà-thaobhach.
A’ Tuigsinn Sgaoileadh Binomial
Tha an sgaoileadh binomial a’ toirt cunntas air an àireamh de “shoirbheasan” ann an n deuchainnean neo-eisimeileach, far a bheil:
Chan eil ach dà thoradh comasach aig gach deuchainn: soirbheachas no fàilligeadh.
– Is e p an coltachd soirbheachais air gach deuchainn.
– Is e 1 – p an coltachd fàilligeadh.
- Tha gach deuchainn neo-eisimeileach bho chèile.
Tha an sgaoileadh binomial air a chomharrachadh mar B(n, p), far a bheil n a’ riochdachadh an àireamh de dheuchainnean agus p a’ riochdachadh coltachd soirbheachais ann an aon dheuchainn.
Foirmle Sgaoilidh Binomial
Tha an sgaoileadh binomial air a thomhas leis an fhoirmle a leanas:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p) ^{nk} \]
Càite:
– \( P(X = k) \): An coltachd gum faighear dìreach k soirbheasan ann an n deuchainnean.
– \( \binom{n}{k} \): Measgachadh de n nithean air an gabhail k.
– \(p \): Cothrom soirbheachais air gach deuchainn.
– \(n \): Àireamh iomlan dheuchainnean.
– \(k \): An àireamh de shoirbheasan a tha thu ag iarraidh.
Tha an cothlamadh \(\binom{n}{k}\) air a thomhas mar:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Feartan an t-Sgaoilidh Dhìon-mheadhanach
1. Dùil (Cuibheasachd) agus Caochlaideachd:
– Is e \( \mu = np \) an dùil no a’ chuibheasachd den sgaoileadh binomial.
– Is e an caochlaideachd ≥ 2 = np(1-p)).
2. Co-chothromachd:
– Tha an sgaoileadh dà-thomach co-chothromach ma tha p = 0.5. Ma tha p ≠ 0.5, bidh an sgaoileadh claon chun na làimh dheis (p < 0.5) no chun na làimh chlì (p > 0.5).
3. Claonadh agus Kurtosis:
– Is e claonadh an t-sgaoilidh dà-thomaich \( \gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}} \).
– Is e kurtosis γ² = 1-6p(1-p)}{np(1-p)).
4. Sgaoileadh Tuairmseach:
– Airson n mòr agus p a tha a’ tighinn faisg air 0.5, faodar an sgaoileadh binomial a thomhas leis an sgaoileadh àbhaisteach.
– Ma tha p glè bheag agus n glè mhòr agus mar sin tha np seasmhach, faodar an sgaoileadh binomial a thomhas leis an sgaoileadh Poisson.
A’ cleachdadh an Sgaoilidh Bhinn-nòmach
Tha an sgaoileadh dà-thaobhach air a chleachdadh ann an raointean leithid bith-eòlas, eaconamas, margaidheachd agus innleadaireachd gus modalan a dhèanamh de thachartasan a ghabhas cur an cèill ann an teirmean dà-thaobhach (soirbheachas/fàilligeadh). Seo eisimpleirean concrait den chleachdadh aige:
Deuchainn Càileachd Bathar
Ma tha coltachd 2% ann gum bi baidse de thoradh lochtach. Ma nì sinn deuchainn air 50 aonad den toradh, is urrainn dhuinn an sgaoileadh binomial a chleachdadh gus coltachd àireamh shònraichte de dh'aonadan lochtach a lorg obrachadh a-mach. Le n = 50 agus p = 0.02, is urrainn dhuinn coltachd k aonadan lochtach a lorg sa bhaidse obrachadh a-mach.
Measadh Samplachaidh
Ann an rannsachadh margaidh, mar eisimpleir, bidh sgrùdaidhean gu tric air an dèanamh le ceistean tha/chan eil. Ma tha sinn airson faighinn a-mach cia mheud neach a tha ag aontachadh le aithris ann an sampall de 100 neach (a’ gabhail ris gu bheil coltachd aonta de 0.7 ann), faodaidh an sgaoileadh binomial cuideachadh le bhith a’ measadh cia mheud duine a tha dùil a tha ag aontachadh.
Gintinneachd
Ann an gintinneachd, thathar a’ cleachdadh an sgaoileadh binomial gus modaladh a dhèanamh air oighreachd fheartan sònraichte bho aon ghinealach chun an ath ghinealach. Mar eisimpleir, ma tha coltachd 25% ann gum bi feart ginteil sònraichte aig sliochd, is urrainn dhuinn an sgaoileadh binomial a chleachdadh gus faighinn a-mach dè cho coltach ‘s a tha e gum bi feart sònraichte aig dithis a-mach à ceathrar shliochd.
Ionmhas agus Àrachas
Ann an ionmhas, faodar an sgaoileadh binomial a chleachdadh gus modaladh a dhèanamh air briseadh-creideis, pàighidhean tagraidhean, no ìrean rèidh air bathar sònraichte a choinnicheas ri cumhaichean soirbheachais/fàilligeadh.
Eisimpleir Àireamhachaidh
Ma tha sinn airson obrachadh a-mach dè cho coltach ‘s a tha e, a-mach à 10 tilgeil bhuinn, gum faigh sinn dìreach 6 cinn (a’ gabhail ris gu bheil na buinn cothromach agus p=0.5):
[P(X = 6) = \binom{10}{6} (0.5)^6 (0.5)^4 \]
[ = \frac{10!}{6!4!} (0.5)^{10} \]
\[ = \frac{210}{1024} \]
\[ = 0.205 \]
Mar sin, tha coltachd 0.205 ann gum faigh thu dìreach 6 cinn a-mach à 10 tilgeilean bonn.
Tagraidhean Coimpiutaireachd
Anns an aois theicneòlais an-diugh, bidh sgaoilidhean binomial gu tric air an obrachadh a-mach le bhith a’ cleachdadh bathar-bog staitistigeil leithid R, Python, no innealan clàr-obrach mar Microsoft Excel. Seo eisimpleir de sgriobt Python sìmplidh a’ cleachdadh leabharlann `scipy`:
“` python
bho scipy.stats in-mhalairt binom
Mar eisimpleir, tha sinn airson P(X = 6) a lorg airson n=10 agus p=0.5
n = 10
p = 0.5
k = 6
prob = binom.pmf(k, n, p)
clò-bhuail(f”’S e {prob:.3f}”) an coltachd gum faigh thu dìreach {k} cinn bho {n} tilgeil bonn
“`
Co-dhùnadh
’S e inneal cudromach a th’ anns an sgaoileadh dà-thaobhach ann an staitistig agus coltachd, gu h-àraidh nuair a thathar a’ dèanamh anailis air tachartasan dà-thaobhach neo-eisimeileach. Faodaidh maighstireachd a’ bhun-bheachd seo ar cuideachadh le bhith a’ dèiligeadh nas èifeachdaiche ri duilgheadasan a tha a’ buntainn ri co-dhùnaidhean ionmhais, rannsachadh margaidh, càileachd thoraidhean, gintinneachd, agus measgachadh de thagraidhean eile.
Le bhith a’ tuigsinn gnìomh an t-sgaoilidh dà-thaobhach, is urrainn dhuinn modaladh agus obrachadh a-mach coltachdan thachartasan gu mionaideach, agus co-dhùnaidhean a stèidheachadh air mion-sgrùdadh staitistigeil làidir. Tha adhartasan ann an teicneòlas agus bathar-bog staitistigeil air a dhèanamh nas fhasa an sgaoileadh seo obrachadh a-mach agus fhaicinn ann an dòigh fhaicsinneach, ga dhèanamh nas ruigsinniche ann an raon farsaing de raointean sgrùdaidh agus thagraidhean.
