Ceistean Eisimpleir agus Deasbad mu Thagraidhean Amalaichte
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an àireamhachd a th’ ann an amalachadh aig a bheil iomadh cleachdadh ann an diofar raointean saidheans, leithid fiosaig, eaconamas, bith-eòlas agus innleadaireachd. Bithear a’ cleachdadh amalachaidhean gus an raon fo lùb, meud cruaidh, obair, cuideam agus barrachd obrachadh a-mach. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de thagraidhean amalachaidh, agus an uairsin mìneachaidhean mionaideach air mar a dh’fhuasglas sinn iad.
1. A’ dearbhadh na sgìre fon lùb
Is e aon de na cleachdaidhean as cumanta de dh’integralan an raon fo lùb gnìomh obrachadh a-mach thairis air raon sònraichte. Ma tha sinn airson raon na sgìre a lorg a tha air a chuartachadh leis a’ lùb \(y = x^2\) agus an ais \(x\) bho \(x = 0\) gu \(x = 2\).
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Obraich a-mach an raon fon lùb \(y = x^2\) bho \(x = 0\) gu \(x = 2\).
Deasbad:
Gus an raon fon lùb \(y = x^2\) a lorg bho \(x = 0\) gu \(x = 2\), feumaidh sinn an t-iomlan cinnteach den ghnìomh obrachadh a-mach:
[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Ceum 1: Obraich a-mach an t-iomlan de \(x^2\).
Thoir an aire gur e seo an t-iomlan de \(x^2\):
[\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C\]
Ceum 2: Cuir crìoch iomlan \(0\) an sàs ann an \(2\).
[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Ceum 3: Obraich a-mach an luach crìche.
[ \clì. \frac{x^3}{3} \deas|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Mar sin, is e an raon fon lùb _(y = x^2)_ bho _(x = 0) gu _(x = 2)_ aonaid raon.
2. A’ tomhas meud nithean rothlach
Cleachdar integrailean cuideachd gus meud stuthan rèabhlaideach obrachadh a-mach. Ma thèid roinn a rothlachadh timcheall air an axis \(x\), gheibhear meud an nì le bhith a’ cleachdadh an dòigh diosc no an dòigh fàinne.
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Obraich a-mach meud an nì a thèid a chruthachadh nuair a thèid an roinn a tha air a chuartachadh leis a’ lùb _(y = \sqrt{x}_) agus an loidhne _(x = 4_) a thionndadh timcheall air an axis _(x_).
Deasbad:
Gus meud cruaidh roth-chuairteachaidh a lorg, is urrainn dhuinn an dòigh diosc a chleachdadh. Faodar meud \(V\) a’ chruaidh a thig às a chur an cèill mar:
[V = π_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx]
Far a bheil \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), agus \(b = 4\).
Ceum 1: Cruthaich an t-iomlan toirte.
[V = π_{0}^{4} (qr{x})^2, dx]
Ceum 2: Sìmplich an gnìomh san integral.
[V = π_{0}^{4}x, dx]
Ceum 3: Obraich a-mach an t-iomlan de \(x\).
[\int x \, dx = \frac{x²}{2} + C \]
Ceum 4: Cuir na crìochan \(0\) gu \(4\) an sàs.
[V = π[x²/2]_0⁻⁴]
Ceum 5: Obraich a-mach an luach crìche.
[ \clì. \frac{x^2}{2} \deas|_{0}^{4} = \pi \clì( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \deas) = \pi \clì( \frac{16}{2} \deas) = 8\pi \]
Mar sin, is e aonadan de thomhas-lìonaidh an nì a thig às a sin \(8\pi\).
3. A’ tomhas na h-obrach a rinn feachd caochlaideach
Gheibhear tagraidhean iomlan ann am fiosaigs cuideachd, agus is e aon dhiubh sin an obair a nì feachd caochlaideach obrachadh a-mach nuair a ghluaiseas nì bho aon phuing gu puing eile.
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Bidh feachd \(F(x) = 3x^2\) Newton ag obair air mìrean a tha a’ gluasad bho \(x = 1\) meatair gu \(x = 3\) meatairean. Obraich a-mach an obair a nì an fheachd.
Deasbad:
Gheibhear an obair \(W\) a nì an fheachd \(F(x)\) le bhith ag obrachadh a-mach an t-iomlan de \(F(x)\) thairis air an gluasad bho \(a\) gu \(b\):
[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Far a bheil _(a = 1_), _(b = 3_), agus _(F(x) = 3x^2_).
Ceum 1: Cruthaich integral na h-obrach.
[W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Ceum 2: Obraich a-mach an t-iomlan de \(3x^2\).
[\int 3x^2\, dx = 3\clì(\frac{x^3}{3}\deas) = x^3 + C\]
Ceum 3: Cuir na crìochan \(1\) gu \(3\) an sàs.
[ W = [ x^3 ]_{1}^{3} ]
Ceum 4: Obraich a-mach an luach crìche.
[W = \clì.x^3 \deas|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Mar sin, is e 26 joules an obair a nì an fheachd.
4. A’ dearbhadh cuideam uisge-statach
Ann am fiosaig, thathas a’ cleachdadh integrailean cuideachd gus cuideam hydrostatach obrachadh a-mach air uachdar a tha air a bhogadh ann an leaghan.
Eisimpleir de dhuilgheadasan:
Tha truinnsear dìreach 6 meatairean a dh'àirde agus 4 meatairean a leud air a bogadh ann an uisge leis a' mhullach aige os cionn uachdar an uisge. Obraich a-mach feachd iomlan cuideam an uisge air a' phlàta.
Deasbad:
Tha an cuideam aig doimhneachd \(h\) ann an uisge air a thoirt seachad le \(P = \rho gh\), far a bheil \(\rho\) na dùmhlachd uisge (mu \(1000 \text{ kg/m}^3\)) agus \(g\) na luathachadh air sgàth grabhataidh (mu \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Airson an fheachd cuideim iomlan, feumaidh sinn an cuideam a thoirt còmhla thairis air farsaingeachd dhìreach a’ phlàta.
Ceum 1: Obraich a-mach gnìomh cuideam.
[P(y) = rho gy]
Ceum 2: Is e an fheachd iomlan _(F)_ an t-iomlan den chuideam air iomadachadh leis an raon bunaiteach _(dA) bho _(y = 0) gu _(y = 6).
[F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Ceum 3: Sìmplich na cunbhalachdan.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Ceum 4: Obraich a-mach an t-iomlan de \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Ceum 5: Cuir na crìochan \(0\) gu \(6\) an sàs.
[F = 4 1000 9.8 [y²/2]_06]
Ceum 6: Obraich a-mach an luach crìche.
[F = 4 ⋅ 1000 9.8 ⋅ {6^2}{2} = 4 ⋅ 1000 9.8 ⋅ 18 = 705600]
Mar sin, is e 705600 Newton feachd iomlan cuideam an uisge air a’ phlàta.
Co-dhùnadh
Tha cleachdadh integralan ann an diofar thagraidhean a’ toirt seachad cumhachd anailis mhòr airson meudan fiosaigeach iom-fhillte obrachadh a-mach. San artaigil seo, tha sinn air beachdachadh air mar a thèid integralan a chur an sàs gus an raon fo lùb, meud cruaidh roth-rathaid, an obair a nì feachd caochlaideach, agus cuideam uisge-dhìonach obrachadh a-mach. Le deagh thuigse air dòighean amalachaidh, is urrainn dhuinn measgachadh de dhuilgheadasan practaigeach a tha ag èirigh ann an saidheans agus innleadaireachd fhuasgladh.
