Eisimpleirean de Cheistean a’ Deasbad Chearcaill agus Tangents
Tha cearcallan nan cuspair cudromach ann an geoimeatraidh maitrís, far a bheilear a’ sealltainn bun-bheachdan domhainn mu astar, ceàrnan, agus cumadh. Is e aon bhun-bheachd air a bheilear a’ bruidhinn gu tric sa chuspair seo an loidhne-suathaidh ri cearcall. San artaigil seo, bruidhnidh sinn air grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan anns a bheil cearcallan agus suathaidhean.
Tuigse Bhunasach air Cearcaill agus Tangents
Cearcall
'S e cruth geoimeatrach a th' ann an cearcall a tha air a chruthachadh leis an t-seata de phuingean uile ann am plèana a tha aig astar stèidhichte bho phuing sònraichte ris an canar meadhan a' chearcaill. Canar radius a' chearcaill ris an astar stèidhichte seo.
Tangent
Is e loidhne a tha a’ beantainn ris a’ chearcall aig aon phuinge gu dìreach a th’ ann an tangant ri cearcall. Canar puing an tangant ris a’ phuing seo. Tha grunn fheartan cudromach aig tangantan, nam measg:
– Tha an loidhne-suathaidh an-còmhnaidh ceart-cheàrnach ri radius a’ chearcaill aig a’ phuing-suathaidh.
– Tha fad beantainn bho phuing taobh a-muigh a’ chearcaill chun a’ chearcaill mar an ceudna ma thèid dà bheannachadh a tharraing bhon phuing sin.
Ceistean is Deasbadan Eisimpleir
Gu h-ìosal bidh sinn a’ taisbeanadh grunn cheistean eisimpleireach a bhios a’ beachdachadh air bun-bheachd chearcaill agus tangentantan gu mionaideach.
Eisimpleir Ceist 1: A’ lorg fad na loidhne-suathaidh
Ceist:
Ma tha cearcall ann le meadhan ≤ O agus radius r = 6, cm. Bho phuing ≤ P taobh a-muigh a’ chearcaill a tha 10 cm bho mheadhan a’ chearcaill, tha dà shuaicheantas ≤ PB agus ≤ PB air an tarraing chun a’ chearcaill. Obraich a-mach fad an t-suaicheantas ≤ PB.
Deasbad:
Anns a’ cheist seo, is urrainn dhuinn teòirim Phìothagoras a chleachdadh. Tarraing triantan \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (astar bhon phuing a-muigh gu meadhan a’ chearcaill)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (radius a’ chearcaill)
– ’S e \(PA\) an loidhne-suathaidh a dh’fheumar a lorg
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = 64 = 8, cm
\]
Mar sin, tha fad na loidhne-suathaidh \(PA\) 8 cm.
Eisimpleir Ceist 2: A’ lorg Puing an Tadhail
Ceist:
Ma tha cearcall ann leis a’ cho-aontar _((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25_) agus loidhne _(y = 2x + 1_). Obraich a-mach puing an t-suathaidh eadar an cearcall agus an loidhne.
Deasbad:
An toiseach, bidh sinn a’ comharrachadh meadhan agus radius a’ chearcaill:
– Meadhan \(O(3, 4)\)
– Rèidius (r = 25 = 5)
Gus am puing-suathaidh a lorg, gabhamaid ris gur e \(T(x_1, y_1)\) am puing-suathaidh a tha cuideachd na laighe air an loidhne \(y = 2x + 1\). An uairsin:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
Feumaidh \(T(x_1, y_1)\) co-aontar a’ chearcaill a shàsachadh cuideachd:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Cuir \(y_1 = 2x_1 + 1\) a-steach don cho-aontar cearcaill:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Feumaidh sinn dà cheàrnag obrachadh a-mach.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Cuir an dà thoradh còmhla:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Thoir air falbh 25 bho gach taobh:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Fuasgail an co-aontar ceàrnagach:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 µm ≈ 0.4 µsqrt{29}
\]
Obraich a-mach luach \(y_1\):
A tha a’ sàsachadh y = 2x + 1:
– Ma tha \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), an uairsin \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ma tha \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), an uairsin \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Measadh:
Mar sin gheibh sinn dà phuingean-gearraidh co-aontar a’ chearcaill leis an loidhne sin.
Eisimpleir Ceist 3: A’ dearbhadh co-aontar loidhne-suathaidh
Ceist:
Ma tha cearcall ann leis a’ cho-aontar \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Obraich a-mach co-aontar na loidhne-suathaidh ris a’ chearcall a tha a’ dol tron phuing \((6, 7)\).
Deasbad:
Gheibhear an tangant ri cearcall le meadhan (h, k) agus radius (r) bho phuing taobh a-muigh aithnichte leis a’ cho-aontar:
Tha an loidhne-suathaidh a’ dol tron phuing a-muigh \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Cuir am puing a-muigh (6, 7)) an àite:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Is e co-aontar na loidhne-suathaidh:
\[
x + y = 9
\]
Mar sin, tha an atharrachadh ann an co-aontar na loidhne tro phuing loidhne a’ chearcaill glè mhòr agus faodaidh e atharrachadh a rèir an toraidh no an riochdachadh lèirsinneach.
Co-dhùnadh
Tha an deasbad mu chearcaill agus tangantan a’ còmhdach grunn thaobhan bunaiteach de mhatamataig, bho bhith a’ cur foirmlean bunaiteach an sàs mar theòirim Phythagorean gu bhith a’ fuasgladh cho-aontaran ceàrnagach. Tro na h-eisimpleirean seo, is urrainn dhuinn tuigse nas fheàrr fhaighinn air mar a chuireas sinn na bun-bheachdan seo an sàs ann an suidheachaidhean caran iom-fhillte. Tha sinn an dòchas gun do chuidich an t-artaigil seo le bhith a’ toirt seachad dealbh soilleir air mar a dhèiligeas sinn ri duilgheadasan a tha a’ toirt a-steach cearcaill agus tangantan agus mar a dh’fhuasglas sinn iad.
