Ceistean Eisimpleir agus Deasbad air Bun-bheachd nan Toraidhean Gnìomh
’S e bun-bheachd bunaiteach ann an àireamhachd a th’ ann an toireadh gnìomh aig a bheil cleachdaidhean farsaing ann an diofar chuspairean, leithid fiosaig, eaconamas agus innleadaireachd. Còmhdaichidh an t-artaigil seo grunn eisimpleirean de dhuilgheadasan agus bruidhnidh e air bun-bheachd toireadh gnìomh gus tuigse nas doimhne a thoirt seachad air a’ chuspair seo.
Mìneachadh Bunasach air Toraidhean
Mus tèid sinn a-steach do na ceistean eisimpleir, ’s e deagh bheachd a th’ ann ath-sgrùdadh goirid a dhèanamh air mìneachadh agus bunaitean nan toraidhean. Is e an t-toradh de ghnìomh \( f(x) \) aig a’ phuing \( x = a \) a th’ ann:
[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a + h) – f(a)}{h} \]
Canar gnìomh toraidheach f(x) ris a’ ghnìomh \(f'(x) \).
Eisimpleir Ceist 1: Toraidhean Poileanomach Bunasach
Ceist:
Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \).
Deasbad:
Cleachd an riaghailt thùsail airson an toraidh (\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}).
1. Airson \(3x^3 \):
[ \frac{d}{dx}(3x^3) = 3 3x^{3-1} = 9x^2 \]
2. Airson (-5x²):
[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x \]
3. Airson (2x):
[ \frac{d}{dx}(2x) = 2 \]
4. Airson (-7):
[ \frac{d}{dx}(-7) = 0 \]
Mar sin:
[f'(x) = 9x^2 – 10x + 2]
Eisimpleir Ceist 2: Toraidhean Gnìomhan Triantan-eòlach
Ceist:
Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh ∫(g(x) = ∫sin(x)∫cos(x)∫).
Deasbad:
Cleachd riaghailt an toraidh (\frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)) le (u(x) = sin(x)) agus (v(x) = cos(x)).
1. Is e cos(x) an t-atharrachadh de \( \sin(x) \), agus mar sin tha \(u'(x) = \cos(x) \).
2. Is e -sin(x) an t-atharrachadh de \( \cos(x) \), agus mar sin tha \(v'(x) = -sin(x) \).
Ionadachadh (u'(x)) agus (v'(x)):
[g'(x) = cos(x) ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (-sin(x))]
[g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
An toradh deireannach:
[g'(x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) \]
Eisimpleir 3: Toradh Gnìomh Eas-chruthach
Ceist:
Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh (h(x) = e^{2x}).
Deasbad:
Cleachd riaghailt an toraidh den ghnìomh eas-chruthach _( \frac{d}{dx} e^{kx} = ke^{kx} \) le _(k = 2 \).
[ h'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x} \]
[h'(x) = 2 e^{2x}]
An toradh deireannach:
[h'(x) = 2e^{2x}]
Eisimpleir Ceist 4: Toradh Gnìomh Logaritmach
Ceist:
Lorg a’ chiad thoradh den ghnìomh _(p(x) = _ln(3x + 1)_).
Deasbad:
Cleachd riaghailt an toraidh den ghnìomh logaritmach _( \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot u' \) le _(u(x) = 3x + 1 \).
1. Lorg an t-atharrachadh a-staigh \( u(x) = 3x + 1 \):
\[ u'(x) = 3 \]
2. Cleachd riaghailt an toraidh logaritmich:
[p'(x) = \frac{1}{3x + 1} ⋅3 \]
An toradh deireannach:
[p'(x) = \frac{3}{3x + 1} \]
Eisimpleir Ceist 5: Cleachdadh Dhiofaraidhean – Uasmhéid agus As ìsle
Ceist:
Lorg na luachan as àirde agus as ìsle den ghnìomh \( q(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x – 5 \) air an eadar-ama \( x \in [-2, 2] \).
Deasbad:
1. Lorg a’ chiad thoradh de \( q(x) \):
[q'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + 3x^2 + 12x – 5)]
[q'(x) = -6x^2 + 6x + 12]
2. Lorg na puingean statach le bhith a’ fuasgladh \( q'(x) = 0 \):
[-6x^2 + 6x + 12 = 0]
[-6(x^2 – x – 2) = 0]
\[ x^2 – x – 2 = 0 \]
[(x-2)(x+1) = 0]
Is iad na puingean statach _(x = 2 _) agus _(x = -1 _).
3. Measaich \( q(x) \) aig puingean èiginneach agus crìochan eadar-ama:
[q(-2) = -2(-2)^3 + 3(-2)^2 + 12(-2) – 5]
\[ = 16 + 12 – 24 – 5 \]
\[ = -1 \]
[q(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) – 5]
[= -16 + 12 + 24 – 5]
\[ = 15 \]
[q(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) – 5]
\[ = 2 + 3 – 12 – 5 \]
\[ = -12 \]
4. Measadh nan toraidhean:
– Tha an luach as àirde a’ tachairt aig \(x = 2 \) le \(q(2) = 15 \).
– Tha an luach as ìsle a’ tachairt aig \(x = -1 \) le \(q(-1) = -12 \).
Penutup
Tha tuigse mhionaideach air bun-bheachd an toraidh air gnìomh deatamach ann an diofar raointean saidheans. Tha sinn an dòchas gun cuidich na duilgheadasan eisimpleireach agus na còmhraidhean gu h-àrd le bhith a’ doimhneachadh do thuigse air a’ bhun-bheachd. Ann an cleachdadh, feumaidh sinn gu tric diofar riaghailtean agus teòirimean a chur còmhla gus fuasgladh fhaighinn air duilgheadasan nas iom-fhillte. Ionnsachadh sona!
