Théorème de Torricelli – problèmes et solutions

Théorème de Torricelli – problèmes et solutions

1. Un tube de 100 cm de hauteur est rempli d'eau. Un trou Q est situé à 10 cm au-dessus du sol. Quelle est la distance horizontale (x) ?

Connu :

Distance entre le trou et la surface de l'eau (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Voulait: Distance de x

Solution:

La vitesse du courant d'eau au niveau du trou

v = vitesse, g = accélération due à la gravité, h = distance entre le trou et la surface de l'eau

La vitesse du courant d'eau au niveau du trou :

Temps passé dans l'air

Le mouvement de l'eau du trou vers le sol est le mouvement d'un projectileLe mouvement d'un projectile peut être compris en analysant séparément ses composantes horizontale et verticale. Le mouvement selon l'axe x s'effectue à vitesse constante, tandis que le mouvement selon l'axe y s'effectue à une accélération constante due à la gravité.

Dans ce problème, mouvement vertical analysé comme un mouvement de chute libre.

Calculer le temps de vol à l'aide de l'équation de mouvement de chute libre.

Connu :

La hauteur du trou (y) = 10 cm = 0.1 m

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Recherché : Intervalle de temps (t)

Solution:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 t²

t² = 0.1 / 5

t² = 0.02

t = √0.02 secondes

La distance horizontale (x) :

Connu :

La vitesse initiale (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Temps de vol (t) = √0.02 secondes

Recherché : La distance horizontale (x)

Solution:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 mètre

2. Un réservoir d'eau d'une hauteur de 1 mètre est percé d'un orifice au point P. Quelle est la vitesse d'écoulement de l'eau à cet orifice ? L'accélération due à la gravité est de 10 m/s².².

Connu :

Distance entre le trou et la surface de l'eau (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Voulait: Vitesse du débit d'eau au niveau du trou (v)

Solution:

La vitesse du courant d'eau au niveau du trou :

3. Un grande tub Elle contient de l'eau et un robinet, comme illustré ci-dessous. Si g = 10 m/s^-2, alors la vitesse de l'eau sortant du robinet est…

Connu :

Hauteur (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 mètre

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Voulait: Vitesse de l'eau (v)

Solution:

TLe théorème d'Orricelli stipule que la vitesse de l'eau à travers un trou situé à une distance h de la surface de l'eau est égale à vitesse de chute librefaire respecter de l'eau d'une hauteur de h.

La vitesse de l'eau est calculée à l'aide de la formule du mouvement de chute libre.a v_t² = 2 gh

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A cuve rempli d'eau et dans un mur il y a un trou (voir figure ci-dessousLa vitesse de l'eau qui sort du trou est… (g = 10 ms^-2)

Connu :

Hauteur (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 mètres

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Recherché : Svitesse de l'eau (V)

Solution:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Un réservoir contenant de l'eau jusqu'à 1 mètre de hauteur (g = 10 m/s)^-2) et sur le mur il y a un trou de fuite (voir figure ci-dessousLa vitesse de l'eau sortant du trou est...

Connu :

Hauteur (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 mètres

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/s²

Recherché : Svitesse de l'eau (V)

Solution:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Que décrit le théorème de Torricelli ?
   • Réponse: Le théorème de Torricelli établit une relation entre la vitesse d'écoulement d'un fluide sortant d'un orifice et la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de l'ouverture, en supposant un écoulement permanent, non visqueux (sans viscosité) et incompressible.
2. Comment le théorème de Torricelli est-il exprimé mathématiquement ?
   • Réponse: Le théorème s'exprime comme suit : v=√2gh​, Où $v$ est la vitesse de l'efflux, $g$ est l'accélération due à la gravité, et $h$ est la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de l'orifice.
3. Sous quelles hypothèses le théorème de Torricelli a-t-il été établi ?
   • Réponse: Le théorème suppose que le fluide est incompressible et non visqueux, que l'écoulement est stationnaire et qu'aucune énergie supplémentaire n'est ajoutée ou soustraite au fluide.
4. Si un récipient comporte deux orifices à des profondeurs différentes, comment se compareront les vitesses des fluides s'écoulant de ces orifices ?
   • Réponse: Le fluide s'écoulant du trou le plus proche du fond aura une vitesse supérieure à celle du fluide provenant du trou le plus profond. Ceci s'explique par le fait que la pression (et donc l'énergie potentielle) est plus élevée en profondeur.
5. Pourquoi la vitesse d'écoulement ne dépend-elle pas de la forme ou de la section transversale du récipient ?
   • Réponse: Le théorème de Torricelli ne prend en compte que l'énergie potentielle due à la hauteur de la colonne de fluide au-dessus de l'orifice. La forme du récipient n'influe pas sur cette hauteur, donc la vitesse d'écoulement reste constante.
6. En quoi la vitesse réelle du fluide s'écoulant d'un orifice diffère-t-elle de la prédiction du théorème de Torricelli dans des situations réelles ?
   • Réponse: Dans la réalité, des facteurs comme la viscosité du fluide, la turbulence et la forme de l'orifice peuvent affecter la vitesse réelle, la rendant souvent inférieure à celle prédite par le théorème de Torricelli.
7. Quel est le lien entre le théorème de Torricelli et la conservation de l'énergie ?
   • Réponse: Le théorème de Torricelli découle de la conservation de l'énergie mécanique. Il établit l'égalité entre l'énergie potentielle à la surface du fluide et l'énergie cinétique à l'orifice.
8. Si un orifice est présent tout en haut d'un récipient rempli de liquide, comment le théorème de Torricelli décrit-il la vitesse d'écoulement ?
   • Réponse: La hauteur $h$ La valeur au-dessus de l'orifice serait nulle, donc selon le théorème de Torricelli, la vitesse d'efflux serait nulle.
9. Quel est l'impact de la présence de la pression atmosphérique sur les prédictions du théorème de Torricelli ?
   • Réponse: Le théorème de Torricelli suppose que le récipient est ouvert à l'atmosphère et que, par conséquent, la pression atmosphérique s'exerce uniformément sur toute la surface du fluide. Cette pression s'annule lorsqu'on considère la différence de pression à travers la hauteur du fluide, ce qui garantit la validité du théorème.
10. Que devient la vitesse d'écoulement lorsque la quantité de fluide dans le récipient diminue ?

• Réponse: À mesure que le niveau du liquide diminue, la hauteur $h$ La pression au-dessus de l'orifice diminue. Selon le théorème de Torricelli, la vitesse d'écoulement diminuerait en conséquence. v=√2gh​.

Ces questions et réponses explorent les fondements, les implications et les applications du théorème de Torricelli en dynamique des fluides.