Loi de Hooke et élasticité – problèmes et solutions

Loi de Hooke et élasticité – problèmes et solutions

Le changement de longueur

1. Une tige de longueur L est tirée par une force F. Son allongement est ∆L. Quelle est l'intensité de la force si la variation de longueur est de 4∆L ?

Connu :

Force 1 (F ₁ ) = F

La variation de longueur 1 (∆L ₁ ) = ∆L

La variation de longueur 2 (∆L ₂ ) = 4 ∆L

Recherche : Force 2 (F ₂ )

Solution:

L'équation de la loi de Hooke

k = F / ΔL

k = constante d'élasticité, F = force de F, ΔL = variation de longueur

k ₁ = k ₂

F ₁ / ∆L ₁ = F ₂ / ∆L ₂

F / ΔL = F ₂ / 4ΔL

F / 1 = F ₂ / 4

F = F ₂ / 4

F₂ = _4F

2. Ces ressorts sont connectés en série-parallèle, comme illustré sur la figure ci-dessous. Le ressort 1 a une constante de raideur de 200 N/m, le ressort 2 a une constante de raideur de 200 N/m et le ressort 3 a une constante de raideur de 200 N/m. La masse de l'objet est de 100 grammes. accélération due à la gravité est de 10 m/s²Quelle est la variation de longueur de le équivalent printemps.

Connu :

Masse de l'objet (m) = 100 grammes = 0.1 kg

k1 = _k2 = _{k3 = 200} N/m

w = mg = (0.1 kg)(10 m/s² ⁾ = 1 kg m/s² ⁼ 1 Newton

Recherche : La variation de longueur du ressort équivalent.

Solution:

Déterminer l'équivalent constante de raideur :

Les ressorts 2 (k₂ ₎ et 3 (k₃ ₎ sont montés en parallèle. La constante de raideur équivalente est :

k _p = k ₂ + k ₃ = 200 + 200 = 400 Nm ⁻¹

Les ressorts 1 (k₁ ₎ et p (kₚ ₎ sont montés en série. La constante de raideur équivalente est :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/400 + 1/200 = 1/400 + 2/400 = 3/400

k _s = 400/3 Nm ⁻¹

La constante de raideur équivalente est de 400/3 Nm ^-1

Déterminer la variation de longueur du ressort équivalent :

L'équation de la loi de Hooke :

∆x = F / k = w / k

La variation de longueur du ressort équivalent :

∆x = w / k

∆x = 1 : 400/3 = 1 x 3/400 = 3/400 = 0.0075 m = 0.75 cm

La constante de raideur du ressort

3. Quelle est la constante du ressort selon les données du tableau ci-dessous ?

Solution:

L'équation de la loi de Hooke :

k = F / Δx

Constante de raideur du ressort :

k = 0.98 / 0.0008 = 1.96 / 0.0016 = 2.94 / 0.0024 = 3.92 / 0.0032 = 1.225 N/m

4. Trois ressorts sont montés en série-parallèle comme illustré ci-dessous. Les constantes de raideur du ressort principal sont k₁ ₌ k₂ ₌ 3 Nm⁻¹ ^et k₃ ₌ 6 Nm⁻¹ ^. Quelle est la constante de raideur du ressort équivalent ?

Connu :

Constante du ressort 1 (k ₁ ) = constante du ressort 2 (k ₂ ) = 3 Nm ⁻¹

Constante du ressort 3 (k ₃ ) = 6 Nm ⁻¹

Recherche : constante du ressort équivalent (k)

Solution:

Les ressorts 1 (k₁ ₎ et 2 (k₂ ₎ sont montés en parallèle. La constante du ressort équivalent est :

k _p = k ₁ + k ₂ = 3 + 3 = 6 Nm ⁻¹

Les ressorts p (k_{_P} ) et 3 (k_₃ ) sont montés en série. La constante du ressort équivalent est :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₃ = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6

k _s = 6/2 = 3 Nm ⁻¹

La constante de l'équivalent du ressort = 3 Nm ⁻¹.

5. Un ressort de longueur L est tiré par un poids w. D'après les données du tableau ci-dessous, quelle est la constante du ressort équivalent ?

Solution:

k = F / Δx

Constante de raideur du ressort :

k = 10 / 0.02 = 20 / 0.04 = 30 / 0.06 = 40 / 0.08 = 500 N/m

6. D'après les données du tableau ci-dessous, quelle est la constante du ressort équivalent ?

Solution:

k = F / Δx = w / Δx = mg / Δx

k = constante d'élasticité, w = poids, m = masse, g = accélération due à la gravité, Δx = variation de longueur

Constante de raideur :

k = 2 / 0.05 = 4 / 0.1 = 6 / 0.15 = 8 / 0.20 = 10 / 0.25 = 40 N/m

7. Si k ₁ = 4k, quelle est la constante du ressort équivalent ?

Solution:

Deux ressorts sont connectés en parallèle. La constante du ressort équivalent :

k _p = k + k = 2k

Deux ressorts sont connectés en série. La constante du ressort équivalent

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₁ = 1/2k + 1/4k = 2/4k + 1/4k = 3/4k

k _s = 4k/3

8. D'après les données du tableau ci-dessous, quelle est la constante du ressort équivalent ?

Solution:

L'équation de la loi de Hooke :

k = F / Δ L

Constante de raideur du ressort :

k = 2 / 0.0050 = 3 / 0.0075 = 4 / 0.01 = 400 Nm ^-1

9. La plus petite constante est…

Solution

L'équation de la loi de Hooke :

k = F / Δx

k = constante d'élasticité, F = force, Δx = variation de longueur

Constante d'élasticité :

k _A = F / Δx = 1 / 0.05 = 20 N/m

k _B = F / Δx = 2 / 0.025 = 80 N/m

k _C = F / Δx = 1 / 0.025 = 40 N/m

k _D = F / Δx = 2 / 0.05 = 40 N/m

k _E = F / Δx = 2 / 0.25 = 8 N/m

10. Quelle est la plus grande constante selon les données du tableau ci-dessous ?

Solution:

L'équation de la loi de Hooke :

k = F / Δx

k _A = 7 / 0.035 = 200 Nm ^-1

k _B = 8 / 0.025 = 320 Nm ^-1

k _C = 6 / 0.020 = 300 Nm ^-1

k _D = 9 / 0.045 = 200 Nm ^-1

k _E = 10 / 0.033 = 303 Nm ^-1

La plus grande constante est de 320 Nm ^-1.

11. Le graphique ci-dessous illustre la relation entre la variation de force (ΔF) et l'allongement (Δx). Quel est le graphique représentant la plus petite constante d'élasticité ?

Solution

L'équation de la loi de Hooke :

k = F / Δx

Δx = variation de longueur, F = force, k = constante d'élasticité

Constante d'élasticité :

k _A = F / Δx = 1 / 8 = 0.125

kB = F / Δx = 8 / 3 = _2.7

k _C = F / Δx = 6 / 6 = 1

k _D = F / Δx = 3 / 5 = 0.6

k _E = F / Δx = 2 / 4 = 0.5

12. Quel graphique h possède les plus grandes constantes élastiques ?

Solution:

Constante d' élasticité :

k _A = F / Δx = 50 / 10 = 5

kB = F / Δx = 50 / 0.1 = ₅₀₀

k _C = F / Δx = 5 / 0.1 = 50

k _D = F / Δx = 500 / 0.1 = 5000

k _E = F / Δx = 500 / 10 = 50

L'énergie potentielle du ressort :

13. Le graphique ci-dessous illustre la relation entre la force et la variation de longueur du ressort. Quelle est l'énergie potentielle du ressort, d'après ce graphique ?

Connu :

F = 40 N

x = 0.08 mètre

Recherche : L' énergie potentielle du ressort

Solution:

Constante de raideur du ressort :

k = F / Δx = 40 / 0.08 = 500 N/m

L'énergie potentielle du ressort :

PE = 1/2 kx ² = 1/2 (500)(0.08) = (250)(0.08) = 20 Joules

14. Un bloc de 2 kg est attaché à un ressort. Si l'allongement du ressort est de 5 cm et l'accélération due à la gravité de 10 m/s² ^, quelle est l'énergie potentielle du ressort ?

Connu :

L'augmentation de longueur (Δx) = 5 cm = 0.05 mètre

Accélération due à la gravité (g) = 10 m/ ^s²

Masse du bloc (m) = 2 kg

Poids du bloc (w) = mg = (2)(10) = 20 Newtons

Recherche : l'énergie potentielle du ressort

Solution:

La constante d'élasticité :

k = w / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

L'énergie potentielle du ressort :

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.05) ² = (200)(0.0025)

PE = 0.5 joules

15. Un ressort s'allonge de 5 cm lorsqu'il est soumis à une force de 20 N. Quelle est son énergie potentielle lorsque son allongement est de 10 cm ?

Connu :

La variation de longueur (Δx) = 5 cm = 0.05 mètre

Force (F) = 20 Newtons

Recherche : L'énergie potentielle du ressort

Solution:

La constante de raideur du ressort :

k = F / Δx = 20 / 0.05 = 400 N/m

L'énergie potentielle du ressort lorsque Δx = 10 cm = 0.1 m :

PE = ½ k Δx ² = ½ (400)(0.1) ² = (200)(0.01)

PE = 2 joules

Poids de l'objet

16. Quatre ressorts, chacun de constante de raideur 800 N/m, sont montés en série-parallèle, comme illustré sur la figure. Un bloc est fixé à l'un des ressorts. La variation de longueur de chaque ressort est de 5 cm. Quel est le poids du bloc ?

Connu :

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 800 N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Recherche : poids du bloc (w)

Solution:

Déterminer la constante du ressort équivalent

Printemps 1 (k₁), ressort 2 (k₂) et ressort 3 (k₃sont connectés en parallèle. La constante du ressort équivalent :

k _p = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 800 + 800 + 800 = 2400 Nm ⁻¹

Les ressorts p (k_{_P} ) et 4 (k_₄ ) sont montés en série. La constante du ressort équivalent est :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/2400 + 1/800 = 1/2400 + 3/2400 = 4/2400

k _s = 2400/4 = 600 Nm ⁻¹

La constante du ressort équivalent est de 600 Nm ^-1

Déterminer le poids de l'objet :

L'équation de la loi de Hooke :

F = k Δx ou w = k Δx

Poids de l'objet :

w = (600 Nm ^-1 )(0.05 m) = 30 Newtons

17. Quatre ressorts sont montés en série-parallèle. La constante de raideur de chaque ressort est de 1600 N/m. Un bloc est fixé à l'extrémité de chaque ressort, comme illustré sur la figure. L'allongement de chaque ressort est de 5 cm. Quel est le poids du bloc ?

Connu :

k ₁ = k ₂ = k ₃ = k ₄ = 1600 N m ⁻¹

Δx = 5 cm = 0.05 m

Recherche : poids du bloc

Solution:

Déterminer la constante du ressort équivalent

Printemps 1 (k₁), ressort 2 (k₂) et ressort 3 (k₃sont connectés en parallèle. La constante du ressort équivalent :

k _P = k ₁ + k ₂ + k ₃ = 1600 + 1600 + 1600 = 4800 Nm ⁻¹

Les ressorts p (k_{_P} ) et 4 (k_₄ ) sont montés en série. La constante du ressort équivalent est :

1/k _s = 1/k _p + 1/k ₄ = 1/4800 + 1/1600 = 1/4800 + 3/4800 = 4/4800

k _s = 4800/4 = 1200 Nm ⁻¹

La constante du ressort équivalent est de 1200 Nm ^-1

Déterminer le poids de l'objet :

L'équation de la loi de Hooke :

F = k Δx ou w = k Δx

Poids de l'objet :

w = (1200 Nm ^-1 )(0.05 m) = 60 Newtons

1. Quelle est la loi de Hooke?
   • Réponse: La loi de Hooke décrit la relation entre la force appliquée à un objet élastique et la déformation qui en résulte (généralement un allongement ou une compression). Plus précisément, elle stipule que la force nécessaire pour comprimer ou étirer un ressort est directement proportionnelle à la distance d'étirement ou de compression, tant que la limite d'élasticité n'est pas dépassée.
2. Que signifie l'expression « un matériau a atteint sa limite d'élasticité » ?
   • Réponse: Lorsqu'un matériau atteint sa limite d'élasticité, cela signifie qu'il ne reprend plus sa forme ni sa taille initiales après la suppression de la force de déformation. Au-delà de ce point, le matériau se comporte de manière plastique et peut se déformer de façon permanente.
3. Quel est le lien entre la constante de raideur (k) et la rigidité d'un ressort ?
   • Réponse: La constante de raideur (k) est une mesure de la rigidité d'un ressort. Plus la valeur de k est élevée, plus le ressort est rigide ; il faut donc appliquer une force plus importante pour le déformer d'une certaine distance. À l'inverse, une valeur de k plus faible indique un ressort plus souple.
4. Quelles sont les unités de la constante de raideur du ressort dans le système SI ?
   • Réponse: Dans le système SI, les unités de la constante de raideur (k) sont les newtons par mètre (N/m).
5. Pourquoi le comportement décrit par la loi de Hooke est-il considéré comme linéaire ?
   • Réponse: Le comportement est considéré comme linéaire car la relation entre la force appliquée (F) et le déplacement (x) est une droite, la relation étant donnée par : $F=kx$, où k est une constante pour un matériau ou un ressort donné.
6. La loi de Hooke s'applique-t-elle uniquement aux ressorts ?
   • Réponse: Non, la loi de Hooke s'applique à tout matériau élastique qui se déforme linéairement sous l'effet de la force appliquée, jusqu'à sa limite d'élasticité. Les ressorts en sont un exemple courant, mais d'autres matériaux comme les élastiques, les métaux soumis à de faibles déformations et certains tissus biologiques peuvent également présenter un comportement décrit par la loi de Hooke.
7. Que se passe-t-il si un matériau est étiré au-delà de sa limite élastique, mais pas suffisamment pour se rompre ?
   • Réponse: Si un matériau est étiré au-delà de sa limite élastique sans toutefois se rompre, il subit une déformation plastique. Cela signifie qu'une fois la force relâchée, le matériau ne reprend pas entièrement sa forme initiale et conserve une déformation permanente.
8. Quel est le lien entre les concepts de contrainte et de déformation et la loi de Hooke ?
   • Réponse: La contrainte est la force appliquée par unité de surface, et la déformation est la variation relative d'un matériau. La loi de Hooke, exprimée en termes de contrainte et de déformation, stipule que la contrainte est directement proportionnelle à la déformation, le coefficient de proportionnalité étant le module de Young du matériau. Il s'agit d'une autre façon d'exprimer la relation linéaire entre la force et la déformation, mais pour les matériaux massifs et non seulement pour les ressorts.
9. Qu'est-ce que le module de Young et quel est son lien avec l'élasticité ?
   • Réponse: Le module de Young, généralement représenté par la lettre $E$Le module de Young mesure la rigidité d'un matériau en traction ou en compression. Il décrit sa capacité à résister à la déformation sous l'effet d'une force appliquée. Plus le module de Young est élevé, plus le matériau est rigide. Il est défini comme le rapport entre la contrainte et la déformation.
10. Tous les matériaux peuvent-ils être décrits par la loi de Hooke ?

• Réponse: Non, tous les matériaux ne se comportent pas selon la loi de Hooke. De nombreux matériaux, notamment ceux qui sont non linéaires, viscoélastiques ou plastiques, ne présentent pas de relation linéaire entre la contrainte et la déformation. La loi de Hooke est une description idéalisée et est plus précise pour les faibles déformations des matériaux élastiques.