Addition de vecteurs à l'aide de composants – problèmes et solutions
1. Trois vecteurs comme indiqué dans la figure ci-dessous.
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
Quels sont les vecteurs résultants?
Connu :
V1 = 30, angle entre V1 et l' axe x = 30 °
V2 = 30, angle entre V2 et l' axe x = 30 °
V3 = 40, angle entre V3 et l' axe x = 0 °
Recherche : Les vecteurs résultants
Solution:
Les composantes des vecteurs :
V 1x = (V 1 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite).
V 1y = (V 1 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut).
V 2x = (V 2 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x négatif (vers la gauche).
V 2y = (V 2 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut).
V 3x = (V 3 )(cos 0 o ) = (40)(1) = 40. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite).
V 3y = (V 3 )(sin 0 o ) = (40)(0) = 0
Les composantes des vecteurs résultants :
V <sub>x</sub> = V <sub>1x </sub> – V <sub> 2x</sub> + V <sub>3x</sub> = 15√3 – 15√3 + 40 = 40
V y = V 1y + V 2y + V 3y = 15 + 15 = 30
2. Deux forces perpendiculaires l'une à l'autre, F 1 = 12 N et F 2 = 5 N. Quelle est la résultante des deux forces ?
Connu :
Force 1 (F 1 ) = 12 Newtons
Force 2 (F 2 ) = 5 Newtons
Recherche : Les vecteurs résultants ( ΣF )
Solution:
ΣF₂ = F₁² + F₂² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
ΣF = √ 169 = 13 Newtons
3. Trois vecteurs,
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
Déterminez les vecteurs résultants.
Connu :
v 1 = 30, forme un angle de 30 ° autour de l'axe des x négatifs
v 2 = 30, fait 30 ° autour de l'axe x positif
v 3 = 40, fait 0 ° autour de l'axe x positif
Recherche : Les vecteurs résultants
Solution:
Les composantes des vecteurs :
v 1x = v 1 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x négatif (vers la gauche) )
v 1y = v 1 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut) )
v 2x = v 2 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite ) )
v 2y = v 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut). )
v 3x = v 3 cos 0 o = (40)(1) = 40 ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite). )
v 3y = v 3 péché 0 o = (40)(0) = 0
Les composantes des vecteurs résultants :
v <sub>x</sub> = – v <sub>1x </sub> + v <sub>2x</sub> + v <sub>3x</sub> = -15√3 + 15√3 + 40 = 40
v y = v 1a + v 2a + v 3a = 15 + 15 = 30
Le vecteur résultant :
4. Quelle est la résultante des trois vecteurs représentés dans la figure ci-dessous ?
Connu :
F1 = 3 Newtons, fait 60o autour de l'axe x positif
F₂ = 3 Newtons, crée un angle de 0 ° autour de l'axe x négatif
F3 = 6 Newtons , effectue un angle de 60 ° autour de l'axe y négatif
Recherche : Le vecteur résultant
Solution:
Les composantes des vecteurs :
F 1x = F 1 cos 60 o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite ) )
F 1y = F 1 sin 60 o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut) )
F 2x = F 2 cos 0 o = (3)(1) = -3 N ( Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x négatif (vers la gauche) )
F 2y = F 2 sin 0 o = (3)(0) = 0
F 3x = F 3 cos 60 o = (6)(0.5) = 3 N ( Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite ) )
F 3y = F 3 sin 60 o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l' axe y négatif (vers le bas ) )
Les composantes des vecteurs résultants :
ΣF <sub>x </sub> = F <sub> 1x</sub> – F <sub> 2x</sub> + F <sub>3x</sub> = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N
ΣF y = F 1y + F 2y – F 3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N
Le vecteur résultant :
5. Deux forces, F₁ = 15 N et F₂ = 9 N. L'angle entre les deux vecteurs est de 60°. Quelle est la résultante des vecteurs ?
Recherché :
Force 1 (F 1 ) = 15 Newtons
Force 2 (F 2 ) = 9 Newtons
Angle ( θ) = 60 °
Recherche : Le vecteur résultant
Solution:
6. Quelle est la résultante des trois vecteurs représentés dans la figure ci-dessous ?
Connu :
F1 = 20 Newtons, angle entre F1 et l'axe des x = 0
F2 = 20 Newtons, angle entre F2 et l' axe x = 60°
F3 = 24 Newtons, angle entre F3 et l' axe x = 60°
Recherche : Le vecteur résultant
Solution:
Les composantes des vecteurs :
F 1x = (F 1 )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x positif (vers la droite ).
F 1y = (F 1 )(sin 0) = (20)(0) = 0
F 2x = (F 2 )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x négatif (vers la gauche).
F 2y = (F 2 )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe y positif (vers le haut).
F 3x = (F 3 )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l'axe x négatif (vers la gauche).
F 3y = (F 3 )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N est négatif car cette composante vectorielle pointe le long de l' axe y négatif ( vers le bas ).
Les composantes des vecteurs résultants :
F <sub>x </sub> = F <sub>1x </sub> – F <sub> 2x </sub> – F <sub>3x</sub> = 20 – 10 – 12 = -2
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
Le vecteur résultant :
