30 Lämpömoottorit (termodynamiikan toisen pääsäännön soveltaminen) – ongelmia ja ratkaisuja
1. Lämmöntuonti Q H = 3000 joulea ja lämmöntuotto Q L = 1000 joulea. Mikä on lämpömoottorin hyötysuhde?
Tunnettu:
Lämmöntuonti (QH ) = 10 000 joulea
Lämmöntuotto (QL ) = 1000 joulea
Moottorin tekemä työ (W) = 3000 – 1000 = 2000 joulea
Etsitään: Lämpömoottorin hyötysuhde (e)
ratkaisu:
2. Lämpömoottori tuottaa 2000 joulea mekaanista työtä ja moottori luovuttaa lämpöä ympäristöön 500 joulen nopeudella. Mikä on lämpömoottorin hyötysuhde?
Tunnettu:
Moottorin tekemä työ (W) = 2000 joulea
Lämmöntuotto (QL ) = 5000 joulea
Lämmöntuonti (QH ) = 2000 + 5000 = 7000 joulea
Etsitään: Tehokkuus (e)
ratkaisu:
3. Lämpömoottorin hyötysuhde on 30 %. Jos moottori tuottaa 10 000 joulea mekaanista työtä, kuinka paljon lämpöä moottorista vapautuu hukkalämpönä?
Tunnettu:
Hyötysuhde (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
Moottorin tekemä työ (W) = 3 000 joulea
Etsitään : Lämmöntuotto (Q L )
ratkaisu:
Lämmöntuotto (QL ) = lämmöntuonti (QH ) – moottorin tekemä työ (W)
Q L = 10 000 joulea – 3 000 joulea
QL = 7,000 joulea
4. Määritä Carnot-moottorin hyötysuhde kahden säiliön välillä 500 K ja 300 K lämpötiloissa.
Ratkaisu: Käyttämällä Carnot'n hyötysuhdekaavaa, \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\), saadaan \(\eta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) eli \(40\%\).
5. Lämpömoottori absorboi 2000 J lämpöä kuumasta säiliöön ja siirtää 1200 J kylmään säiliöön. Laske moottorin tekemä työ.
Ratkaisu: Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön, \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}}\), mukaisesti tehty työ on \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\).
6. Laske lämpövoimakoneen hyötysuhde, kun se ottaa vastaan 1000 J kuumasta säiliöstä ja tekee 600 J työtä.
Ratkaisu: \(\eta = \frac{W}{Q_{\text{hot}}} = \frac{600}{1000} = 0.6\) tai \(60\%\).
7. Lämpömoottori toimii 400 K:n ja 200 K:n lämpötiloissa. Määritä suurin mahdollinen hyötysuhde.
Ratkaisu: \(\eta_{\text{max}} = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{200}{400} = 0.5\) tai \(50\%\).
8. Lämpömoottori luovuttaa 300 J kylmään säiliöön tehdessään 200 J työtä. Laske kuumasta säiliöstä absorboituva lämpö.
Ratkaisu: \(Q_{\text{kuuma}} = W + Q_{\text{kylmä}} = 200 + 300 = 500\ \text{J}\).
9. Määritä Otto-syklin hyötysuhde, kun puristussuhde on 8.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \noin 0.564\) tai \(56.4\%\), jossa \(\gamma\) on lämpökapasiteettisuhde.
10. Lämpömoottori tekee 150 J työtä ja luovuttaa 100 J kylmään lämpösäiliöön. Laske kuumasta säiliöön absorboituva lämpö.
Ratkaisu: \(Q_{\text{kuuma}} = W + Q_{\text{kylmä}} = 150 + 100 = 250\ \text{J}\).
11. Määritä dieselmoottorin hyötysuhde, jonka puristussuhde on 18 ja katkaisusuhde 2.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \left( \frac{r_c – 1}{r_c} \right) \noin 0.627\) tai \(62.7\%\), jossa \(r\) on puristussuhde, \(r_c\) on katkaisusuhde ja \(\gamma\) on lämpökapasiteettisuhde.
12. Laske lämpövoimakoneen tekemä työ, kun se absorboi 400 J energiaa ja sen hyötysuhde on 50 %.
Ratkaisu: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.5 \cdot 400 = 200\ \text{J}\).
13. Lämpömoottori toimii 600 K:n ja 300 K:n lämpötilassa. Laske Carnot'n hyötysuhde.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) tai \(50\%\).
14. Lämpömoottori absorboi 3000 J ja luovuttaa 1800 J kylmäsäiliöön. Laske tehty työ.
Ratkaisu: \(W = Q_{\text{kuuma}} – Q_{\text{kylmä}} = 3000 – 1800 = 1200\ \text{J}\).
15. Määritä Stirling-moottorin hyötysuhde kahden säiliön välillä 800 K:n ja 400 K:n lämpötiloissa.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) tai \(50\%\).
16. Lämpömoottori luovuttaa 500 J kylmään säiliöön tehdessään 300 J työtä. Laske kuumasta säiliöstä absorboituva lämpö.
Ratkaisu: \(Q_{\text{kuuma}} = W + Q_{\text{kylmä}} = 300 + 500 = 800\ \text{J}\).
17. Määritä Ericssonin syklin hyötysuhde kuumilla ja kylmillä säiliöillä 1000 K:ssa ja 250 K:ssa.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) tai \(75\%\).
18. Lämpömoottori tekee 700 J työtä ja sen hyötysuhde on 70 %. Laske kylmäsäiliöön luovutettava lämpö.
Ratkaisu: \(Q_{\text{cold}} = \frac{W}{\eta} – W = \frac{700}{0.7} – 700 \noin 1000 – 700 = 300\ \text{J}\).
19. Määritä Brayton-syklin hyötysuhde painesuhteilla 6.5 ja γ = 1.4.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \noin 0.433\) tai \(43.3\%\), jossa \(r_p\) on painesuhde.
20. Laske lämpövoimakoneen tekemä työ, kun se absorboi 250 J ja luovuttaa 100 J kylmään säiliöön.
Ratkaisu: \(W = Q_{\text{kuuma}} – Q_{\text{kylmä}} = 250 – 100 = 150\ \text{J}\).
21. Lämpömoottori toimii 450 K:n ja 150 K:n lämpötilassa. Laske Carnot'n hyötysuhde.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}} = 1 – \frac{150}{450} \noin 0.667\) tai \(66.7\%\).
22. Määritä Atkinsonin syklin hyötysuhde, kun puristussuhde on 10.
Ratkaisu: \(\eta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} \noin 0.593\) tai \(59.3\%\),
jossa \(r\) on puristussuhde ja \(γ\) on lämpökapasiteettisuhde.
20. Lämpömoottori kuluttaa 180 J ja sen hyötysuhde on 40 %. Laske tehty työ.
Ratkaisu: \(W = \eta \cdot Q_{\text{hot}} = 0.4 \cdot 180 = 72\ \text{J}\).
Huomautus: Tietyille lämpösykleille (kuten Otto, diesel jne.) liittyvissä ongelmissa käytettiin tiettyjä arvoja, kuten lämpökapasiteettisuhdetta γ, jotka ovat tyypillisiä tietyille kaasuille (esim. γ = 1.4 ilmalle). Nämä arvot voivat vaihdella moottorissa käytettyjen aineiden mukaan.
