25 Carnot-moottori (termodynamiikan toisen pääsäännön sovellus) – ongelmia ja ratkaisuja
1. Moottori toimii 1200 ja 300 kelvinin lämpötilassa. Mikä on tämän moottorin hyötysuhde?
Tunnettu:
Korkea lämpötila (T H ) = 1200 K
Matala lämpötila (T L ) = 300 K
Etsitään: Tehokkuus (e)
ratkaisu:
2. Moottori toimii 727–127 °C:n lämpötilassa. Moottorin lämmöntuonti on 6000 joulea. Mikä on moottorin hyötysuhde ja moottorin tekemä työ kussakin syklissä?
Tunnettu:
Korkea lämpötila (TH ) = 727 ° C + 273 = 1000 K
Matala lämpötila (T L ) = 127 ° C + 273 = 400 K
Lämmöntuonti (QH ) = 6000 joulea
Haluttu: Hyötysuhde (e) ja moottorin tekemä työ (W)
ratkaisu:
Carnot-moottorin hyötysuhde :
Carnot-moottori tekee työn seuraavasti:
W = e Q H
W = (0.6)(6000)
W = 3600 joulea
3. Moottori toimii 527–127 °C:n lämpötilassa . Moottorin lämmöntuonti on 10 000 joulea. Kuinka paljon lämpöä moottorista vapautuu hukkalämpönä?
Tunnettu:
Korkea lämpötila (TH ) = 527 ° C + 273 = 800 K
Matala lämpötila (T L ) = 127 ° C + 273 = 400 K
Lämmöntuonti (QH ) = 10 000 joulea
Etsitään: Lämmöntuotto (Q L )
ratkaisu:
Carnot-moottorin hyötysuhde:
Työn tekee Carnot-moottori:
W = eQ1
W = (0.5)(10.000)
W = 5000 joulea
Lämmöntuotto (QL ) = Lämmöntuonti (QH ) – Työ (W)
Q L = Q H – W
QL = 10 000–5 000
QL = 5000 joulea
4. Mikä on moottorin hyötysuhde ja moottorin tekemä työ alla olevan kaavion mukaan?
Tunnettu:
Korkea lämpötila (T H ) = 800 K
Matala lämpötila (T L ) = 300 K
Lämmöntuonti (QH ) = 1000 joulea
Haluttu: Moottorin hyötysuhde (e) ja tekemä työ (W)
ratkaisu:
Carnot-moottorin hyötysuhde:
Carnot-moottori tekee työn seuraavasti:
W = e Q H
W = (0.625)(1000)
W = 625 joulea
5. Jos Carnot-moottori toimii lämpötiloissa \(500\,K \) - \(300\,K \), laske sen hyötysuhde.
Ratkaisu: \( \eta = 1 – \frac{T_C}{T_H} = 1 – \frac{300}{500} = 0.4 = 40\%)
6. Etsi Carnot-jääkaapin hyötysuhde lämpötiloissa \(300\,K \) - \(250\,K \).
Ratkaisu: \( \eta = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{250}{50} = 5 = 500\% \)
7. Carnot-moottorin hyötysuhde on \(30\%) \. Jos \(T_C = 300\,K \), etsi \(T_H \).
Ratkaisu: \(T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{300}{0.7} \noin 428.57\,K \)
8. Jos Carnot-lämpöpumppu toimii lämpötilassa 270 K ja 330 K, laske sen hyötykerroin (COP).
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{330}{60} = 5.5 \)
9. Määritä Carnot-moottorin \(T_C \) arvo, jonka hyötysuhde on \(50\%) ja \(T_H = 400\,K \).
Ratkaisu: \(T_C = T_H \x (1 – \eta) = 400 \x 0.5 = 200\,K \)
10. Laske Carnot-moottorin hyötysuhde lämpötilavälillä \(373\,K \) - \(273\,K \).
Ratkaisu: \( \eta = 1 – \frac{273}{373} \noin 0.268 = 26.8\% \)
11. Laske Carnot-jääkaapin COP, kun \(T_C = 260\,K \) ja \(T_H = 300\,K \).
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{260}{40} = 6.5 \)
12. Carnot-moottorin hyötysuhde on 25 % ja T_C = 200 K. Etsi T_H.
Ratkaisu: \(T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{200}{0.75} \noin 266.67\,K \)
13. Jos Carnot-lämpöpumppu toimii välillä \(220\,K \) - \(320\,K \), laske COP.
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{320}{100} = 3.2 \)
14. Määritä Carnot-moottorin \(T_C \) arvo, jonka hyötysuhde on \(60\%) ja \(T_H = 500\,K \).
Ratkaisu: \(T_C = T_H \x (1 – \eta) = 500 \x 0.4 = 200\,K \)
15. Laske Carnot-moottorin hyötysuhde lämpötilavälillä \(600\,K \) - \(400\,K \).
Ratkaisu: \( \eta = 1 – \frac{400}{600} \noin 0.333 = 33.3\% \)
16. Laske Carnot-jääkaapin COP, kun \(T_C = 280\,K \) ja \(T_H = 330\,K \).
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{280}{50} = 5.6 \)
17. Carnot-moottorin hyötysuhde on 40 % ja T_C = 250 K. Etsi T_H.
Ratkaisu: \(T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{250}{0.6} \noin 416.67\,K \)
18. Jos Carnot-lämpöpumppu toimii välillä \(270\,K \) - \(370\,K \), laske COP.
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{370}{100} = 3.7 \)
15. Määritä Carnot-moottorin \(T_C \) arvo, jonka hyötysuhde on \(75\%) ja \(T_H = 800\,K \).
Ratkaisu: \(T_C = T_H \x (1 – \eta) = 800 \x 0.25 = 200\,K \)
16. Laske Carnot-moottorin hyötysuhde lämpötilavälillä \(700\,K \) - \(300\,K \).
Ratkaisu: \( \eta = 1 – \frac{300}{700} \noin 0.571 = 57.1\% \)
17. Laske Carnot-jääkaapin COP, kun \(T_C = 250\,K \) ja \(T_H = 350\,K \).
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_C}{T_H – T_C} = \frac{250}{100} = 2.5 \)
18. Carnot-moottorin hyötysuhde on 10 % ja T_C = 150 K. Etsi T_H.
Ratkaisu: \(T_H = \frac{T_C}{1 – \eta} = \frac{150}{0.9} \noin 166.67\,K \)
19. Jos Carnot-lämpöpumppu toimii välillä \(200\,K \) - \(400\,K \), laske COP.
Ratkaisu: \( \text{COP} = \frac{T_H}{T_H – T_C} = \frac{400}{200} = 2 \)
20. Määritä Carnot-moottorin \(T_C \) arvo, jonka hyötysuhde on \(80\%) ja \(T_H = 1000\,K \).
Ratkaisu: \(T_C = T_H \x (1 – \eta) = 1000 \x 0.2 = 200\,K \)
