30 Termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön soveltaminen joissakin termodynaamisissa prosesseissa (isobaarinen, isoterminen, isokoorinen)
1. Alla oleva kuvaaja näyttää kaasun termodynaamisen syklin. Kaasun tekemä työ prosessissa ABCD on …
Tunnettu:
Paine 1 (P1 ) = 2 x 105 Pa
Paine 2 (P2 ) = 4 x 105 Pa
Tilavuus 1 (V1 ) = 1 m3
Tilavuus 2 (V2 ) = 3 m3
Etsitään: Kaasun tekemä työ prosessissa ABCD(W).
ratkaisu:
Kaasun tekemä työ on yhtä suuri kuin ABCD:n pinta-ala.
W = (P² – P¹ ) ( V² – V¹ )
W = (4 × 10⁻¹ – 2 × 10⁻¹ ) (3 – 1)
W = (2 × 10⁻⁶ ) (2)
W = 4 x 105 joulea
2. Kaasun tekemä työ prosessissa ABC on…
Tunnettu:
Paine 1 (P1 ) = 3 x 105 Pa
Paine 2 (P2 ) = 6 x 105 Pa
Tilavuus 1 (V1 ) = 20 cm3 = 20 x 10⁻⁶ m3
Tilavuus 2 (V2 ) = 60 cm3 = 60 x 10⁻⁶ m3
Etsitään : Kaasun tekemä työ prosessissa ABC
ratkaisu:
Kaasun tekemä työ = ABC:n pinta-ala.
W = ½ (P2 – P1 ) ( V2 – V1 )
W = 1/2 (6 x 10⁻⁶ – 3 x 10⁻⁶ ) (60 x 10⁻⁶ – 20 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (3 x 10⁻⁶ ) (40 x 10⁻⁶ )
W = 1/2 (120 x 10⁻¹ joulea )
W = 1/2 (12 joulea)
W = 6 joulea
3. Kuvassa on suljetussa astiassa olevan kaasun aurinkokennokaavio. Kuvassa näkyy kaasun tekemä työ kyseisessä prosessissa.
Ratkaisu
Prosessit AB ja DC ovat isobaarisia prosesseja ( paine pidetään vakiona) . Prosessit AD ja BC ovat isobaarisia prosesseja ( tilavuus ei muutu).
Työ tehtiin kaasun avulla, kun kaasu laajeni (prosessi DC).
Tässä on 9 isobaariseen prosessiin (vakiopaine) liittyvää ongelmaa ja ratkaisua:
1 ongelma:
Vakiopaineessa olevaa 3.0 m³ kaasua puristetaan tilavuudeltaan 2.0 m³. Jos alkulämpötila on 300 K, mikä on lopullinen lämpötila?
Ratkaisu:
Käyttämällä isobaarisen prosessin yhtälöä: \(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\), voimme ratkaista lopullisen lämpötilan:
\[
\frac{3.0}{300} = \frac{2.0}{T_2} \merkitsee, että T_2 = \frac{2.0 \times 300}{3.0} = 200\, \text{K}
\]
2 ongelma:
Laske työ, jonka kaksi moolia kaasua tekee laajetessaan isobaarisesti yhdestä litrasta kolmeen litraan 2 ilmakehän paineessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isobaarisessa prosessissa tehdylle työlle: \(W = P \ΔV \):
\[
W = 2\, \text{atm} \times (3 – 1)\, \text{litraa} = 4\, \text{atm}\cdot\text{litraa}
\]
3 ongelma:
Mikä on sisäisen energian muutos, kun 4 moolia ideaalista kaksiatomista kaasua lämmitetään vakiopaineessa 200 K:sta 300 K:iin?
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä kaksiatomisen kaasun sisäisen energian muutokselle vakiopaineessa: \( \Delta U = nC_pdT \), jossa \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
\Delta U = 4 \frac{7}{2} \times 8 314 \times (300 – 200) \noin 6990\, \text{J}
\]
4 ongelma:
Laske isobaarisessa prosessissa lisääntyvä lämpö, kun 2 moolia yksiatomista kaasua laajenee 5 litrasta 10 litraan 400 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä isobaarisen prosessin lämmönsiirron yhtälöä: \(Q = nC_pdT \), jossa \(C_p = \frac{5}{2}R \), ja \( \frac{V_2}{T_2} = \frac{V_1}{T_1} \):
\[
Q = 2 × ∫\frac{5}{2} × 8 314 × (400 × ∫\frac{10}{5} – 400) = 3316, \text{J}
\]
5 ongelma:
Määritä 3 moolin kolmiatomisen kaasun entalpian muutos, kun sitä laajennetaan 1 litrasta 2 litraan 200 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä kaavaa isobaarisen prosessin entalpian muutokselle: \( \Delta H = nC_pdT \), jossa \(C_p = \frac{f}{2}R \) ja \(f = 6 \):
\[
\Delta H = 3 × \frac{6}{2} × 8 314 × (200 × \frac{2}{1} – 200) = 4989, \text{J}
\]
6 ongelma:
Laske 2 moolin kaasun lopullinen tilavuus 300 K:n lämpötilassa ja 5 litran alkutilavuus, kun se lämmitetään 500 K:n lämpötilaan vakiopaineessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isobaariseen prosessiin:
\[
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \merkitsee, että V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{5 \times 500}{300} \noin 8.33\, \text{litraa}
\]
7 ongelma:
Laske yksiatomisen kaasun tekemä työ, kun se puristetaan puristettuna 6 litrasta 3 litraan 2 ilmakehän paineessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isobaarisessa prosessissa tehdylle työlle:
\[
W = P \Delta V = 2 \times (3 – 6) = -6\, \text{atm}\cdot\text{litraa}
\]
8 ongelma:
Kaksiatominen kaasu laajenee isobaarisesti 3 litrasta 6 litraan 300 K:n lämpötilassa. Laske entropian muutos.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä kaksiatomisen kaasun isobaarisen prosessin entropian muutokselle, jossa \(C_p = \frac{7}{2}R \):
\[
\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 2 × ∫\frac{7}{2} × 8.314 × ∫\frac{300 × ∫\frac{6}{3}}{300} + 2 × 8.314 × ∫\frac{6}{3} = noin 34.76, \text{J/K}
\]
9 ongelma:
Laske lämmönsiirto isobaarisessa puristuksessa, kun 5 moolia kolmiatomista kaasua puristetaan 10 litrasta 5 litraan 500 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä isobaarisen prosessin lämmönsiirron yhtälöä, jossa \(C_p = \frac{f}{2}R \) ja \(f = 6 \):
\[
Q = 5 × ∫\frac{6}{2} × 8 314 × (500 × ∫\frac{5}{10} – 500) = -12473, \text{J}
\]
Näiden tehtävien tulisi antaa kattava yleiskuva isobaariseen prosessiin liittyvistä eri käsitteistä.
Tässä on 9 isotermiseen prosessiin (vakiolämpötila) liittyvää ongelmaa ja ratkaisua:
1 ongelma:
Tehtävä: Laske työ, jonka kaksi moolia ideaalikaasua tekee laajetessaan isotermisesti yhdestä litrasta kahteen litraan 300 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä ideaalikaasun isotermisessä prosessissa tehdylle työlle:
\[ W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1} \]
\[
W = 2 × 8 314 × 300 × ∫ₜ² (noin 3454), \text{J}
\]
2 ongelma:
Ongelma: Laske siirtyvä lämpömäärä, kun 3 moolia kaasua puristetaan isotermisesti 4 litrasta 2 litraan 400 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä lämmönsiirron yhtälöä isotermisessä prosessissa: \(Q = W \):
\[
Q = 3 × 8 314 × 400 × ∫ₜ² (noin -3462), \text{J}
\]
3 ongelma:
Määritä entropian muutos, kun 4 moolia kaasua laajenee isotermisen laajenemisen seurauksena 1 litrasta 5 litraan 300 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä entropian muutokselle isotermisessä prosessissa:
\[
\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 4 × 8.314 × ln\frac{5}{1} \noin 46.15\, \text{J/K}
\]
4 ongelma:
Laske työ, joka tehdään, kun yksi mooli ideaalikaasua puristetaan isotermisesti 6 litrasta 3 litraan 200 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isotermisessä prosessissa tehdylle työlle:
\[
W = 1 × 8 314 × 200 × ∫ₜ (noin -575), J
\]
5 ongelma:
Määritä 3 moolin kaasun sisäisen energian muutos isotermisen laajenemisen aikana 2 litrasta 6 litraan vakiolämpötilassa.
Ratkaisu:
Ideaalisen kaasun isotermisessä prosessissa sisäisen energian muutos on nolla:
\[
\Delta U = 0\, \text{J}
\]
6 ongelma:
Laske lämmönsiirto, kun 5 moolia kaasua laajennetaan isotermisesti 3 litrasta 6 litraan 250 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä lämmönsiirtoyhtälöä isotermisessä prosessissa:
\[
Q = 5 × 8 314 × 250 × ∫ₜₐ noin 2879, J
\]
7 ongelma:
Kuinka paljon työtä 2 moolia kaasua tekee isotermisessä puristuksessa 4 litrasta 2 litraan 150 K:n lämpötilassa?
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isotermisessä prosessissa tehdylle työlle:
\[
W = 2 × 8 314 × 150 × ∫ₜ (noin -1151), J
\]
8 ongelma:
Laske entropian muutos, kun 3 moolia kaasua puristetaan isotermisesti 5 litrasta 1 litraan 500 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä entropian muutokselle isotermisessä prosessissa:
\[
\Delta S = 3 × 8.314 \ln\frac{1}{5} \noin -34.77\, \text{J/K}
\]
9 ongelma:
Määritä työ, jonka 4 moolia ideaalikaasua tekee laajetessaan isotermisesti 2 litrasta 8 litraan 100 K:n lämpötilassa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä isotermisessä prosessissa tehdylle työlle:
\[
W = 4 × 8 314 × 100 × ∫ₜ² (noin 2304), \text{J}
\]
Nämä tehtävät kattavat useita isotermiseen prosessiin liittyviä käsitteitä, kuten tehdyn työn, lämmönsiirron ja entropian muutoksen.
Tässä on 9 isokooriseen prosessiin (vakiotilavuus) liittyvää ongelmaa ja ratkaisua:
1 ongelma:
Laske 3 moolin yksiatomista ideaalikaasua sisäisen energian muutos, kun lämpötilaa nostetaan 200 K:sta 400 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä sisäisen energian muutokselle vakiotilavuudessa: \( \ΔU = nC_v \ΔT \), jossa \( C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta U = 3 \frac{3}{2} \times 8 314 \times (400 – 200) \noin 3741\, \text{J}
\]
2 ongelma:
Määritä kahden moolin kaksiatomisen kaasun lämmönsiirto, kun lämpötila laskee 300 K:sta 200 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä lämmönsiirron yhtälöä vakiotilavuudessa: \(Q = \ΔU = nC_v\ΔT \), jossa \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
Q = 2 × ∫₀ (5%) (2) × 8 314 × (200–300) = noin -4157, J
\]
3 ongelma:
Laske entropian muutos 4 moolin kolmiatomista kaasua tapauksessa, kun lämpötila nousee 100 K:sta 300 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä entropian muutokselle vakiotilavuudessa, jossa \(C_v = \frac{f}{2}R \) ja \(f = 6 \):
\[
\Delta S = nC_v\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 × \frac{6}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{100} \noin 115.36\, \text{J/K}
\]
4 ongelma:
Kuinka paljon työtä kaasu tekee isokoorisessa prosessissa?
Ratkaisu:
Koska tilavuus on vakio isokoorisen prosessin aikana, työtä ei tehdä:
\[
W = 0\, \text{J}
\]
5 ongelma:
Määritä viiden moolin yksiatomista ideaalikaasua lämmönsiirto, kun se jäähdytetään 500 K:sta 300 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä lämmönsiirron yhtälöä vakiotilavuudessa, jossa C_v = ¾R:
\[
Q = 5 × ∫₀ (3%) (2) × 8 314 × (300–500) = noin -6232, J
\]
6 ongelma:
Laske yhden moolin kaksiatomisen kaasun sisäisen energian muutos, kun lämpötilaa nostetaan 150 K:sta 250 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä sisäisen energian muutokselle vakiotilavuudessa, jossa \(C_v = \frac{5}{2}R \):
\[
\Delta U = 1 \frac{5}{2} \times 8 314 \times (250 – 150) \noin 2079\, \text{J}
\]
7 ongelma:
Määritä entropian muutos 3 moolin yksiatomista kaasua tapauksessa, kun lämpötila laskee 600 K:sta 300 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä entropian muutokselle vakiotilavuudessa, jossa \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta S = 3 × \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln\frac{300}{600} \noin -34.59\, \text{J/K}
\]
8 ongelma:
Mikä on kahden moolin kolmiatomikaasun lämmönsiirto, kun lämpötilaa nostetaan 200 K:sta 400 K:iin vakiotilavuudessa?
Ratkaisu:
Käyttämällä lämmönsiirron yhtälöä vakiotilavuudessa, jossa C_v = ¾R:
\[
Q = 2 × ∫(6}{2) × 8 314 × (400–200) × noin 4986, J
\]
9 ongelma:
Laske neljän moolin yksiatomista ideaalikaasua sisäisen energian muutos, kun sitä lämmitetään 250 K:sta 350 K:iin vakiotilavuudessa.
Ratkaisu:
Käyttämällä yhtälöä sisäisen energian muutokselle vakiotilavuudessa, jossa \(C_v = \frac{3}{2}R \):
\[
\Delta U = 4 \frac{3}{2} \times 8 314 \times (350 – 250) \noin 4986\, \text{J}
\]
Nämä ongelmat kattavat isokoorisen prosessin eri osa-alueita, kuten lämmönsiirron, sisäisen energian muutokset ja entropian, erityyppisille kaasuille.
