7 esimerkkiä kulmamomenttiongelmista
Kulmamomentti
1. Esineellä on hitausmomentti 2 kg m²2 ja pyörii kiinteän akselin ympäri kulmanopeus 1 rad/s. Kuinka paljon? kulmamomentti tuo esine?
Keskustelu
Tiedetään, että:
Hitausmomentti (I) = 2 kg m2
Kulmanopeus (ω) = 1 rad/s
Kysytty: Kulmamomentti (L)
Vastaus:
Kulmamomentin kaava:
L = Iω
Kuvaus: L = pyörimismomentti (kg m2/s), I = hitausmomentti (kg m2), ω = kulmanopeus (rad/s)
Kulmaliikemäärä:
L = I ω = (2)(1) = 2 kg m2/s
2. Umpinaisen kiekkohihnapyörän massa on 2 kg ja säde 0,1 metriä. Jos hihnapyörä pyörii akselinsa ympäri vakiokulmanopeudella 2 rad/sekunti, mikä on hihnapyörän pyörimismäärä?
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kiinteän kiekkopyörän massa (m) = 2 kilogrammaa
Kiinteän kiekkopyörän säde (r) = 0,1 metriä
Kulmanopeus (ω) = 2 radiaania/sekunti
Kysytty: Hihnapyörän kulmamomentti
Vastaus:
Kiinteän levyn hitausmomentin kaava, jos se pyörii akselin ympäri, kuten kuvassa näkyy:
I = 1/2 mr2
Kuvaus: I = hitausmomentti (kg m2), m = massa (kg), r = säde (metriä)
Kiinteän levyn hitausmomentti:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Kulmaliikemäärä:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
3. Kiinteä pallo, jonka massa on 2 kg ja säde 0,2 metriä, pyörii akselinsa ympäri kulmanopeudella 4 rad/s. Määritä kiinteän pallon pyörimismäärä!
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kiinteän pallon massa (m) = 2 kilogrammaa
Kiinteän pallon säde (r) = 0,2 metriä
Kulmanopeus (ω) = 4 radiaania/sekunti
Kysytty: Kiinteän pallon kulmamomentti
Vastaus:
Kiinteän pallon hitausmomentin kaava, jos se pyörii akselin ympäri, kuten kuvassa näkyy:
I = (2/5) herra2
Kuvaus: I = hitausmomentti (kg m2), m = massa (kg), r = säde (metriä)
Kiinteän pallon hitausmomentti:
Minä = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 kg m2
Kiinteän pallon pyörimismäärä:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 kg m2/s
4. 1 kg:n massainen kappale liikkuu ympyrää vakiokulmanopeudella 2 rad/s. Määritä hiukkasen pyörimismäärä, jos sen kulkuradan säde on 10 cm.
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kappaleen massa (m) = 1 kilogramma
Kiinteän pallon säde (r) = 10 cm = 10/100 = 0,1 metriä
Kulmanopeus (ω) = 2 radiaania/sekunti
Kysytty: Kulmamomentti
Vastaus:
Hiukkasen hitausmomentin kaava:
Minä = herra2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 kg m2
Kulmaliikemäärä:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 kg m2/s
Impulssimäärän säilymisen laki
5. Homogeeninen, kiinteä lieriömäinen kiekko pyörii aluksi akselinsa ympäri kulmanopeudella 5 rad/s. Kiekon taso on vaakasuoran tason suuntainen. Kiekon massa ja säde ovat 2 kg ja 0,2 metriä. Jos kiekon päälle asetetaan 0,1 kg:n massainen ja 0,2 metrin säteellä varustettu rengas siten, että renkaan keskipiste on suoraan kiekon keskipisteen yläpuolella, kiekko ja rengas pyörivät yhdessä kulmanopeudella…
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kiinteän sylinterin massa (m1) = 2 kilogrammaa
Kiinteän sylinterin säde (r1) = 0,2 metriä
Kiinteän sylinterin kulmanopeus (ω1) = 5 rad/s
Renkaan massa (m2) = 0,1 kilogrammaa
Renkaan säde (r)2) = 0,2 metriä
Kysytty: Sylinterien ja renkaiden kulmanopeus
Vastaus:
Kiinteän sylinterin hitausmomentti: I = 1⁄2 m1 r12 = 1⁄2 (2)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 kg m2
Renkaan hitausmomentti: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 kg m2
Kiinteän sylinterin ja renkaan hitausmomentti (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 kg m2
Alkuperäinen pyörimismomentti (L1) = Lopullinen pyörimismomentti (L2)
I1 ω1 I =2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω)2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2:0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. Balettitanssija pyörii kädet ojennettuina 150 cm pituisiksi ja kulmanopeudella 10 radiaania/sekunti. Sitten tanssija taittaa kätensä 75 cm pituisiksi kyynärpäästä. Mikä on lopullinen kulmanopeus?
Keskustelu
Tiedetään, että:
Säde 1 (r1) = 150 cm = 1,5 metriä
Säde 2 (r2) = 75 cm = 0,75 metriä
Kulmanopeus 1 (ω1) = 10 rad/s
Kysytty: Kulmanopeus 2 (ω2)
Vastaus:
Alkuhitausmomentti: I1 = Herra12 = (m)(1,5)2 = 2,25 XNUMX XNUMX m
Lopullinen hitausmomentti: I2 = Herra22 = (m)(0,75)2 = 0,5625 XNUMX XNUMX m
Alkuperäinen pyörimismomentti (L1) = Lopullinen pyörimismomentti (L2)
I1 ω1 I =2 ω2
(2,25 m)(10) = (0,5625 m)(ω)2)
22,5 m = (0,5625 m)(ω)2)
22,5 = (0,5625)(ω)2)
ω2 = 22,5/0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. Homogeeninen kiinteä lieriömäinen kiekko pyörii aluksi akselinsa ympäri kulmanopeudella 4 rad/s.-1Kiekon massa ja säde ovat 1 kg ja 0,5 m. Jos kiekon päälle asetetaan rengas, jonka massa ja säde ovat 0,2 kg ja 0,1 m, ja renkaan keskipiste on täsmälleen kiinteän lieriömäisen kiekon keskipisteen yläpuolella, niin kiinteä lieriömäinen kiekko ja rengas pyörivät yhdessä kulmanopeudella...
A. 1 rad/s
B. 2 rad/s
C. 3 rad/s
D. 4 rad/s
E. 5 rad/s
Keskustelu :
Hitausmomentti kiinteä lieriö: I = ½ mr2 = ½ (1 kg) (0,5 m)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 kg m2
Renkaan hitausmomentti: I = mr2 = (0,2 kg)(0,1 m²)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 kg m2
Alkuperäinen kulmamomentti (L1 ) = Lopullinen kulmamomentti ( L2 )
I1ω1 = I2ω2
(0,125 kg m² ) (4 rad/s) = (0,125 kg m² + 0,002 kg m² ) ( ω² )
(0,5) = (0,127)( ω² )
ω² = 0,5 : 0,127
ω² = 4 rad/s
Oikea vastaus on D.
