11 esimerkkiä rotaatiodynamiikan kysymyksistä
Tyylin hetki
1. Hyvin kevyt sauva, 140 cm pitkä. Sauvaan vaikuttaa kolme voimaa, F1 = 20 Newtonia, F2 = 10 N ja F3 = 40 N, joiden kunkin suunta ja sijainti on kuvan mukainen. Sauvan pyörimistä massakeskipisteensä ympäri aiheuttavan voimamomentin suuruus on...
A. 40 Nm
B. 39 Nm
Noin 28 Nm
D. 14 Nm
E. 3 Nm
Keskustelu
Tiedetään, että:
Tangon massakeskipiste on tangon keskellä.
Tangon pituus (l) = 140 cm = 1,4 metriä
Voima 1 (F1 ) = 20 N, voimavarsi 1 (l1 ) = 70 cm = 0,7 metriä
Voima 2 (F2 ) = 10 N, voiman 2 haara (l2 ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0,3 metriä
Voima 3 (F3 ) = 40 N, voimavarsi 3 (l3 ) = 70 cm = 0,7 metriä
Kysymys: Kuinka suuri on voimamomentti, joka saa tangon pyörimään massakeskipisteensä ympäri?
Vastaus:
Voimamomentti 1 saa tangon pyörimään myötäpäivään. Siksi voimamomentti 1 on negatiivinen.
τ³ = F³l³ = ( 20 N)(0,7 m ) = -14 Nm
Voimamomentti 2 saa tangon pyörimään vastapäivään. Siksi voimamomentti 2 on positiivinen.
τ² = F²l² = ( 10⁻¹⁸N ) (0,3 m ) = 3 Nm
Voimamomentti 3 saa tangon pyörimään myötäpäivään. Siksi voimamomentti 3 on negatiivinen.
τ³ = F³l³ = ( 40 N)(0,7 m ) = -28 Nm
Tuloksena oleva voimamomentti:
Στ = -14 Nm + 3 Nm - 28 Nm = -42 Nm + 3 Nm = -39 Nm
Voimamomentin suuruus on 39 newtonmetriä. Negatiivinen merkki tarkoittaa, että sauva pyörii vastapäivään.
Oikea vastaus on B.
2. Tanko AB, jonka massaa ei oteta huomioon, asetetaan vaakasuoraan ja siihen vaikuttaa kolme voimaa, kuten kuvassa on esitetty. Akselin ympäri D-pisteessä pyöritettyyn tankoon vaikuttava voimamomentti on… (sin 53 ° = 0,8)
A. 2,4 Nm
B. 2,6 Nm
C. 3,0 Nm
D. 3,2 Nm
E. 3,4 Nm
Keskustelu
Tiedetään, että :
Pyörimis- tai nivelakseli sijaitsee pisteessä D.
F 1 = 10 N ja l 1 = r 1 sin θ = (40 cm) (sin 53 o ) = (0,4 m) (0,8) = 0,32 metri
F 2 = 10√2 N ja l 2 = r 2 sin θ = (20 cm) (sin 45 o ) = (0,2 m) (0,5 √2) = 0,1 √2 metriä
F 3 = 20 N ja l 3 = r 1 sin θ = (10 cm) (sin 90 o ) = (0,1 m) (1) = 0,1 metri
Kysytty : Voiman resultanttimomentti
Vastaus :
τ 1 = F 1 l 1 = (10 N) (0,32 m) = 3,2 Nm
(positiivinen, koska tämä voimamomentti saa kappaleen pyörimään vastapäivään)
τ 1 = F 2 l 2 = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm
(negatiivinen, koska tämä voimamomentti saa lohkon pyörimään myötäpäivään)
τ 1 = F 2 l 2 = (20 N) (0,1 m) = 2 Nm
(positiivinen, koska tämä voimamomentti saa kappaleen pyörimään vastapäivään)
Tuloksena oleva voimamomentti:
Στ = τ1 – τ1 + τ3
Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm
Στ = 3,2 Nm
Oikea vastaus on D.
3. Tanko AB, jonka massaa ei oteta huomioon, asetetaan vaakasuoraan ja siihen vaikuttaa kolme voimaa, kuten kuvassa on esitetty. Akselin ympäri pisteessä D pyöritettyyn tankoon vaikuttava voimamomentti on… (sin 53 ° = 0,8)
A. 2,4 Nm
B. 2,6 Nm
Noin 3,0 Nm
D. 3,2 Nm
E. 3,4 Nm
Keskustelu
Tiedetään, että :
Pyörimisakseli sijaitsee D-pisteessä.
F1 :n ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r AD ) = 40 cm = 0,4 m
F2 :n ja pyörimisakselin välinen etäisyys ( rBD ) = 20 cm = 0,2 m
F3 :n ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r CD ) = 10 cm = 0,1 m
F1 = 10 Newtonia
F2 = 10√2 Newtonia
F3 = 20 Newtonia
Sin 53 o = 0,8
Kysymys : Voiman resultanttimomentti, jos tankoa kierretään akselin D ympäri?
Vastaus :
Laske kunkin voiman tuottama voimamomentti.
Voimamomentti 1
Στ 1 = (F 1 ) (r AD sin 53 o ) = (10 N) (0,4 m) (0,8) = 3,2 Nm
Voimamomentti 1 on positiivinen, koska voimamomentin 1 aiheuttama tangon pyörimissuunta on vastapäivään.
Voimamomentti 2
Στ 2 = (F 2 ) (r BD sin 45 o ) = (10√2 N) (0,2 m) (0,5√2) = -2 Nm
Voimamomentti 2 on negatiivinen, koska voimamomentin 2 aiheuttama tangon pyörimissuunta on sama kuin kellon viisarien pyörimissuunta.
Voimamomentti 3
Στ 3 = (F 3 ) (r CD sin 90 o ) = (20 N) (0,1 m) (1) = 2 Nm
Voimamomentti 3 on positiivinen, koska voimamomentin 3 aiheuttama tangon pyörimissuunta on vastapäivään.
Tuloksena oleva voimamomentti
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = 3,2 – 2 + 2
Στ = 3,2 newtonmetriä
Oikea vastaus on D.
Hitausmomentti
4. Tarkastellaan kuvaa kahdesta pallosta, jotka on yhdistetty langalla. Langan pituus = 12 m, l1 = 4 m ja langan massa jätetään huomiotta, joten järjestelmän hitausmomentin suuruus on…
A. 52,6 kg m2
B. 41,6 2 kg m³
Noin 34,6 2 kg m³
D. 22,4 kg m³
Esim. 20,4 kg m³
Keskustelu
Tiedetään, että :
Pallon A massa (m A ) = 0,2 kg
Pallon B massa (m² ) = 0,6 kg
Pallon A ja pyörimisakselin välinen etäisyys (rA ) = 4 metriä
Pallon B ja pyörimisakselin välinen etäisyys (r B ) = 12 – 4 = 8 metriä
Kysymys : Järjestelmän hitausmomentti (I)
Vastaus :
Pallon A hitausmomentti
I A = (m A ) (r A 2 ) = (0,2) (4) 2 = (0,2) (16) = 3,2 kg m 2
Pallon B hitausmomentti
I B = (m B )(r B 2 ) = (0,6)(8) 2 = (0,6)(64) = 38,4 kg m 2
Hiukkasjärjestelmän hitausmomentti :
I = I A + I B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m 2
Oikea vastaus on B.
Newtonin toinen pyörimisliikkeen laki
5. Katso sivussa olevaa kuvaa homogeenisesta kiinteästä pyörästä. Pyörän reunan ympärille on kierretty naru, jonka päätä vedetään 6 N voimalla F. Jos pyörän massa on 5 kg ja säde 20 cm, pyörän kulmakiihtyvyys on…
A. 0,12 rad/s-2
B. 1,2 rad s –2
C. 3,0 rad s –2
D. 6,0 rad s –2
E. 12,0 rad s –2
Keskustelu
Tiedetään, että:
Vetovoima (F) = 6 Newtonia
Pyörän massa (M) = 5 kg
Pyörän säde (R) = 20 cm = 20/100 m = 0,2 m
Kysymys: Pyörän kulmakiihtyvyys (α)
Vastaus:
Laske voimamomentti:
τ = FR = (6 Newtonia)(0,2 metriä) = 1,2 Newtonmetriä
Laske hitausmomentti:
Kiekon tai levyn muodossa olevan kiinteän pyörän hitausmomentin kaava on 1/2 MR² = 1/2 (5 kg)(0,2 m) ² = 1/2 (5 kg)(0,04 m² ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m².
Laske kulmakiihtyvyys pyörimisdynamiikan kaavalla:
τ = I α
α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad s -2
Oikea vastaus on E.
6. 8 kg:n massainen ja 10 cm:n säteellä varustettu kiinteä kiekkopyörä on kierretty köyden reunan ympärille, ja köyden toiseen päähän on sidottu 4 kg:n kuorma (g = 10 ms -2 ). Kuorman alaspäin suuntautuvan liikkeen kiihtyvyys on...
A. 2,5 ms –2
B. 5,0 ms –2
C. 10,0 ms –2
D. 20,0 ms –2
E. 33,3 ms –2
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kiinteän kiekkopyörän massa (m) = 8 kg
Kiinteän kiekon väkipyörän säde (r) = 10 cm = 0,1 metriä
Kuorman massa (m) = 4 kg
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Kuorman paino (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ) = 40 kg m/s² = 40 Newtonia
Kysymys: Kuorman alaspäin suuntautuvan liikkeen kiihtyvyys
Vastaus:
Laske kiinteän kiekon hitausmomentti:
I = 1/2 MR2 = 1/2 (8 kg)(0,1 m) 2 = (4 kg)(0,01 m2 ) = 0,04 kg m2
Laske voimamomentti:
τ = Fr = (40 N) (0,1 m) = 4 Nm
Laske pyörimisliikkeen kulmakiihtyvyys Newtonin toisen pääsäännön kaavaa käyttäen:
Στ = Iα
4 = 0,04 α
α = 4 / 0,04 = 100
Laske kuorman alaspäin suuntautuvan liikkeen kiihtyvyys:
a = r α = (0,1) (100) = 10 m/s 2
Oikea vastaus on C.
7. Kuvassa näkyvän massan (M) ja säteen (R) omaava kiinteä talja! Massattoman köyden toinen pää on kierretty taljan ympärille ja köyden toiseen päähän on kiinnitetty m kg:n kuorma. Taljan kulmakiihtyvyys (α) on sama, jos kuorma vapautetaan. Jos taljaan kiinnitetään 1⁄2 M:n massainen muovailuvahapala A, saman kulmakiihtyvyyden aikaansaamiseksi on kuormitettava… (I talja = 1/2 MR 2 )
A. 3/4 m kg
B. 3/2 m kg
C. 2 miljoonaa kg
D. 3 miljoonaa kg
E. 4 miljoonaa kg
Keskustelu
Tiedetään, että :
kuorman massa = m
Kuorman paino = w = mg
Kiinteän hihnapyörän massa = M
Kiinteän hihnapyörän säde = R
Hihnapyörän kulmakiihtyvyys = α
Kysytty :
Jos väkipyörän massa kasvaa arvoon M + M/2 = 3M/2 ja väkipyörän kulmakiihtyvyys = α, mikä on kuorman massa?
Vastaus :
Hihnapyörän hitausmomentti ilman muovailunta:
I = 1/2 MR2 = 0,5 MR2
Hihnapyörän + muovailun hitausmomentti:
I = 1/2 (3M/2) R2 = (3M/4) R2 = 0,75M R2
Voiman momentti:
τ = FR
Newtonin toinen pyörimisliikkeen laki:
Στ = Iα
w R = I α
mg R = Iα
α = mg R / I
Saman kulmakiihtyvyyden aikaansaamiseksi kuorman massan on oltava… Korvaa yhtälön 2 α yhtälön 1 α:lla:
Oikea vastaus on B.
8. Kuvassa on esitetty kiinteästä kappaleesta valmistettu väkipyörä, jonka ulkopinnan ympärille on kierretty köysi. Väkipyörän ja köyden välinen kitka sekä väkipyörän pyörimisakselin kitka on jätetty huomiotta. Jos kuorma liikkuu alaspäin vakiokiihtyvyydellä a ms -2 , niin väkipyörän hitausmomentin arvo on yhtä suuri kuin….
A. I = ταR
B. I = τα⁻¹ R
C. I = τ a R
D. I = τ a⁻¹ R⁻¹
E. I = τ a R -1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Voima = w = mg
Voimavarsi = R
Kulmakiihtyvyys = α
Kuorman kiihtyvyys = a ms -2
Kysymys: Hihnapyörän hitausmomentti (I)
Vastaus:
Lineaarisen kiihtyvyyden ja kulmakiihtyvyyden välinen suhde:
a = Rα
α = a / R
Hitausmomentti lasketaan kaavalla:
τ = I α
I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ Ra -1
Oikeaa vastausta ei ole.
9. Kuvassa on esitetty kiinteästä kappaleesta tehty talja, jonka ulkoreunan ympärille on kierretty köysi. Taljan kitka on jätetty huomiotta. Jos taljan hitausmomentti I = β ja köyttä vedetään vakiolla voimalla F, niin F:n arvo on yhtä suuri kuin….
A. F = α . β . R 
B. F = α.β2.R
C. F = α.(β.R) -1
D. F = α . β . (R) -1
E. F = R₁₀ (α₀, β) ⁻¹
Keskustelu
Tiedetään, että:
Vetovoima = F
Hihnapyörän hitausmomentti = β
Hihnapyörän kulmakiihtyvyys = α
Hihnapyörän säde = R
Kysymys: F:n arvo on yhtä kuin….
Vastaus:
Newtonin toisen pääsäännön kaava pyörimisliikkeelle:
Στ = β α ———- Yhtälö 1
Kaavan kuvaus:
Στ = Tuloksena oleva voimamomentti (vääntömomentti)
β = Hitausmomentti
α = Kulmakiihtyvyys
Hihnapyörään vaikuttavan voiman resultanttimomentti:
Στ = FR ———-> Yhtälö 2
Kaavan kuvaus:
F = vetolujuus
R = Voiman F vaikutuspisteen etäisyys pyörimisakselista = hihnapyörän säde
Korvaa Στ yhtälössä 1 Στ:lla yhtälössä 2:
Στ = β ∈ α
F.R = β.α
F = (β . α) / R
F = β . α . (R -1 )
Oikea vastaus on D.
Kulmamomentti
10. 0,2 gramman massainen hiukkanen liikkuu ympyrää, jonka kulmanopeus on vakio 10 rad s -1 . Jos hiukkasen kulkuradan säde on 3 cm, niin hiukkasen pyörimismäärä on...
A. 3 × 10⁻⁷ kg m² s⁻¹
B. 9 × 10⁻⁷ kg m² s⁻¹
C. 1,6 × 10⁻⁶ kg m² s⁻¹
D. 1,8 × 10⁻⁴ kg m² s⁻¹
E. 4,5 × 10⁻³ kg m² s⁻¹
Keskustelu
Tiedetään, että:
Hiukkasmassa (m) = 0,2 grammaa = 2 x 10⁻⁴ kg
Kulmanopeus (ω) = 10 rad s -1
Hiukkasen kulkuradan säde (r) = 3 cm = 3 x 10⁻² metriä
Kysytty: Hiukkasen liikemäärä
Vastaus:
Kulmamomentin kaava:
L = Iω
Kuvaus: I = pyörimismomentti, I = hitausmomentti, ω = kulmanopeus
Hiukkasen hitausmomentti:
I = mr 2 = (2 x 10⁻⁴ )(3 x 10⁻² ) 2 = (2 x 10⁻¹ )(9 x 10⁻¹ ) = 18 x 10⁻¹
Kulmamomentti on:
L = I ω = (18 x 10⁻⁸ ) (10 rad s⁻¹ ) = 18 x 10⁻¹ kg m² s⁻¹
Oikeaa vastausta ei ole.
11. Tanssija pyörii kädet ojennettuina 160 cm:n pituisiksi. Sitten hänen kätensä taitetaan 80 cm:n pituisiksi kyynärpäistä. Jos tanssijan kulmanopeus pysyy vakiona, hänen lineaarinen liikemääränsä on...
A. edelleen
B. tulee puoleksi alkuperäisestä koosta
C. tulee 3/4 alkuperäisestä koosta
D. tulee kaksinkertaiseksi alkuperäiseen verrattuna
E. tulee nelinkertaiseksi alkuperäiseen verrattuna
Keskustelu
Tiedetään, että:
Säde 1 (r1 ) = 160 cm
Säde 2 (r2 ) = 80 cm
Kulmanopeus 1 (ω 1 ) = ω
Kulmanopeus 1 (ω 2 ) = ω
Kysytty: Lineaarinen liikemäärä
Vastaus:
Lineaarinen nopeus 1:
v² = r²ω² = (160 cm ) ²ω
Lineaarinen nopeus 2:
v² = r²ω² = (80 cm ) ²ω
Lineaarinen liikemäärä 1:
p = mv² = m (160 cm) ω
Lineaarinen liikemäärä 2:
p = mv² = m (80 cm) ω
Joten lineaarinen liikemäärä on 1/2 kertaa alkuperäisestä.
Oikea vastaus on B.
Kysymyksen lähde:
Fysiikan kansalliset tenttikysymykset lukiolle/ammatilliseen lukioon
